二次函数中相似三角形的存在性问题--

1二次函数中相似三角形的存在性问题例1.（2011深圳）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：a(3－1)2＋4＝0解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………①设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得y＝－(2－1)2＋4＝3∴点E坐标为（2，3）又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴x＝－1或x＝3当x＝0时，y＝－1＋4＝3,∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，图13ABxyODC图14ABxyODCPQEF图15ABxyODC2∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：023kbkb解得：11kb过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为（0，1）∴2DF………………………………………③又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，－1）∴22222425EIDEDI………④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：111231kbb解得：1121kb过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝12；∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（12，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④，可知：DF＋EI＝225∴四边形DFHG的周长最小为225。（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使NMMDMDBD即可，即：MD2＝NM×BD………………………………⑤设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，∴NMAMBDAB再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4∴(1)3232(1)44AMBDaMNaAB∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，∴⑤式可写成：a2＋9＝32(1)4a×32解得：a＝32或a＝3（不合题意，舍去）EF图6ABxyODCQIGHP图7ABxyODCMTN3∴点M的坐标为（32，0）又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，∴当x＝32时，y＝154∴点T的坐标为（32，154）例2.如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2∵抛物线过原点，∴1)20(a02∴41a.抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2例2题图图1OAByxOAByx图2COABDyx图14⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB,由1)2x(4102得4x,0x21,∴B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6将x＝6代入1)2x(41y2,得y＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)∴直线OP的解析式为x21y由xx41x212,得6x,0x21.∴P(6,－3)过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝13≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.EA'OABPyx图25yxEQPCBOA练习1、已知抛物线2yaxbxc经过53(33)02PE，，，及原点(00)O，．（1）求抛物线的解析式．（由一般式．．．得抛物线的解析式为225333yxx）（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得OPC△与PQB△相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？解：（1）由已知可得：33375530420ababc解之得，253033abc，，．因而得，抛物线的解析式为：225333yxx．（2）存在．6设Q点的坐标为()mn，，则225333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12232mm，．当123m时，2n，即为Q点，所以得(232)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP△∽△，则有3333nm，即2253333333mmm解之得，12333mm，，当3m时，即为P点，当133m时，3n，所以得(333)Q，．故存在两个Q点使得OCP△与PBQ△相似．Q点的坐标为(232)(333)，，，．（3）在RtOCP△中，因为3tan3CPCOPOC．所以30COP．当Q点的坐标为(232)，时，30BPQCOP．所以90OPQOCPBQAO．因此，OPCPQBOPQOAQ，，，△△△△都是直角三角形．Oxy图1CBED312A7又在RtOAQ△中，因为3tan3QAQOAAO．所以30QOA．即有30POQQOAQPBCOP．所以OPCPQBOQPOQA△∽△∽△∽△，又因为QPOPQAOA，⊥⊥30POQAOQ，所以OQAOQP△≌△．练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠55CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD△与ADE△是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。Oxy练习2图CBEDA8解：（1）OCD△与ADE△相似。理由如下：由折叠知，90CDEB°，1290∴°，139023.，又90CODDAE∵°，OCDADE∴△∽△。（2）3tan4AEEDAAD∵，∴设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。358OCABAEEBAEDEttt∴。由（1）OCDADE△∽△，得OCCDADDE，845tCDtt∴，10CDt∴。在DCE△中，222CDDECE∵，222(10)(5)(55)tt∴，解得t=1。∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，91038kbb，∴，解得128kb，，182yx∴，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，y=2x－12。如图2：准确画出两条直线。图2OxyCBEDPMGlNAF