基本(均值不等式)不等式知识点-基础练习1

千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷1学生姓名：任课教师：试卷审查教师：测试科目：涉及章节：教师评语：不等是知识点★知识梳理★1.基本形式:,abR,则222abab;0,0ab,则2abab,当且仅当ab时等号成立.2求最值:当ab为定值时,22,abab有最小值;当ab或22ab为定值时,ab有最大值(0,0ab).3.拓展：若0,0ab时,2221122abababab,当且仅当ab时等号成立.★重难点突破★1.重点：理解基本不等式2abab等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2.难点：利用基本不等式2abab求最大值、最小值3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值二方法技巧讲解(1)灵活运用基本不等式处理不等关系问题1.已知正数x、y满足x+2y=1，求x1+y1的最小值.点拨：∵x、y为正数，且x+2y=1，日期：2012-时间：千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷2∴x1+y1=（x+2y）（x1+y1）=3+xy2+yx≥3+22，当且仅当xy2=yx，即当x=2－1，y=1－22时等号成立.∴x1+y1的最小值为3+22.（2）注意取等号的条件问题2.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=11()()xyxy的最小值为。点拨：错解1、因为对a0,恒有12aa,从而z=11()()xyxy4,所以z的最小值是4。错解2、222222()22xyxyzxyxyxyxyxy22(21)，所以z的最小值是2(21)。错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1xyxyxyxy且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xyxyxy即，与104xy相矛盾。解析：z=11()()xyxy=1yxxyxyxy=21()222xyxyxyxyxyxyxy，令t=xy,则210()24xytxy，由2()fttt在10,4上单调递减,故当t=14时2()fttt有最小值334,所以当12xy时z有最小值254。★热点考点题型探析★考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1.当积ab为定值时,求和ab最小值千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷3例1.已知0,0xy且满足281xy,求xy的最小值.例2.已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例4已知,,abcR,求证:222abcabbcca.千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷4强化训练1.若1x，则x=_____时,11xx有最小值，最小值为_____.2..(2010·华附)已知,*41xyRxy,且,则11xy的最小值为3.已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值．4.已知a，b为正数，求证：abba≥ba5.设x0,y0且x≠y,求证21223133yxyx6.已知函数12()fxax，若02xxf)(在（0，+）上恒成立，求a的取值范围。7.(2010·梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为()Cx.当年产量不足80千件时,21()103Cxxx(万元);当年产量不小于80千件时,10000()511450Cxxx(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷5参考答案例1【解题思路】利用281xy，构造均值不等式解析：∵2828()1()()28yxxyxyxyxyxy,0,0xy,∴280,0yxxy1021618xy,当且仅当28yxxy时等号成立,即224yx,∴2yx,又281xy,∴6,12xy∴当6,12xy时,xy有最小值18.例2解析∵x0，y0，3x+4y=12，∴yxxy43121≤32431212yx，∴lgx+lgy=lgxy≤lg3．由yxyxyx4312430,0解得232yx∴当x=2，y=23时，lgx+lgy取得最大值lg3．例3解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2ab，则ab=a+b+3≥2ab+3，即32abab≥)1)(3(0abab≥ab0≥3，∴ab≥9．解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥333ab0，两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，①∵a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab3，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷6即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(ab-1)≥0，∵ab-1=a+b+20成立，∴ab≥9．例4【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析]2222222,2,2ababbcbcacac,相加整理得222abcabbcca.当且仅当abc时等号成立.强化训练1.若1x，则x=_____时,11xx有最小值，最小值为_____.解析:∵1x,∴01x,∴011x,∴11xx=1111xx12(1)11xx211，当且仅当111xx即0x时1)11(minxx.2..(2010·华附)已知,*41xyRxy,且,则11xy的最小值为解析:∵9454411*,,yxxyyyxxyxyxRyx，当且仅当61,31yx时取等号.3.已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值．解析：设直线l的方程1byax（a0，b0），则121baab，∵a+b2ab，∴ab21≥12ab，即24)(2abab≥0，解得ab≥62，∴ab21≥2)62(21，当a=b=2+6时，三角形面积的最小值为5+264解析1：∵a0，b0，∴bba≥abba22，aab≥baab22，两式相加，得aabbba≥ba22，∴abba≥ba．千里之行，始于足下；状元之路，尽在今朝。状元堂测试试卷7解析2.abbbaababaabba)(≥abba22)(ba．∴abba≥ba．5证明：由x0,y0且x≠y,要证明21223133yxyx只需322233yxyx即22223332yxyxyx只需222yxxy6解析：因为02xxf)(在（0，+）上恒成立，即0221xxa∴)(xxa121∵)(xx12的最小值为4∴41a解得410aa或7解析:(1)当080x时,2211()0.051000102504025033Lxxxxxx当80x时,1000010000()0.0510005114502501200()Lxxxxxx∴2140250,0803()100001200(),80xxxLxxxx(2)当080x时,21()(60)9503Lxx,此时,当60x时,()Lx取得最大值(60)950L(万元);当80x时,1000010000()1200()1200212002001000Lxxxxx此时,当10000xx时,即100x时,()Lx取得最大值1000万元.所以,当产量为100千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000万元.