力学量和算符

第第三三章章力力学学量量和和算算符符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。§3.1力学量算符的引入§3.2算符的运算规则§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.4连续谱本征函数§3.5量子力学中力学量的测量§3.6不确定关系§3.7守恒与对称在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。力学量的平均值对以波函数(,)rt描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)rt表示在t时刻在rrdr中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:2*(,)(,)(,)3.1.1rrtrdrrtrrtdr坐标r的函数fr的平均值是：*(,)(,)3.1.2frrtfrrtdr现在讨论动量的平均值。显然，P的平均值P不能简单的写成2(,)PrtPdr，因为2(,)rtdr只表示在rrdr中的概率而不代表在PPdP中找到粒子的概率。要计算P，应该先找到在t时刻，在PPdP中找到粒子的概率2(,)CPtdP，这相当于对(,)rt作傅里叶变化，而(,)Crt有公式给出。动量p的平均值可表示为但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)rt计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得利用公式可以得到记动量算符为ˆpi则*ˆ(,)(,)3.1.9prtprtdr从而有*ˆ(,)(,)3.1.10fprtfprtdr例如：动能的平均值是角动量L的平均值是*3.1.12Lrpridr综上所述，我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。下面我们来介绍动量算符的物理意义。为简单考虑一维运动，设量子体系沿x方向做一空间平移a，这是状态由原变为，如图所示。显然()xa（3.1.13）若1a，可做泰勒展开222222()()()()2!1()2!()dadxaddxxaxxdxdxaddaxdxdxex（3.1.14）即当a在无穷小的情况下，取准确到一级项有ˆ1xixpax（3.1.15）因此，状态()x经空间平移后变成另一态x，它等于某个变量算作用于原来态上的结果，而该变换算符可由动量算符来表达ˆxipae，特别在无穷小移动的情况下，动量算符纯粹反映着空间平移的特性，所以动量算符又称为空间平移无穷小算符，动量反映着坐标变化（平移）的趋势或能力。推广到三维运动，状态()r在空间平移a下，变为ˆˆ1irrapar（3.1.16）§3.2算符的运算规则3.2.1算符的定义所谓算符，是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。若某种运算把函数变为v，记作则表示这种运算的符号ˆF就称为算符。如果算符ˆF作用于一个函数，结果等于乘上一个常数，记为ˆF（3.2.1）则为ˆF的本征值，为ˆF的本征函数，上述方程称为ˆF的本征方程。若算符满足：1212ˆˆˆFcccFcF（3.2.2）其中1、2为任意函数，1c、2c为常数，则ˆF称为线性算符若算符满足ˆI（3.2.3）为任意函数，则称ˆI为单位算符。3.2.2算符的运算规则算符之和ˆˆˆˆABAB（3.2.4）为任意波函数。显然，算符之和满足交换率和结合律ˆˆˆˆABBAˆˆˆˆˆˆABCABC显然，线性算符之和仍为线性算符。算符之积ˆˆˆˆABAB（3.2.5）注：一般情形ˆˆˆˆABBA（3.2.6）比方，取ˆAx，ˆˆxBpix则但ˆxxpixiixxx因此ˆˆxxxppxi（3.2.7）由于是任意函数，从(3.2.7)式得ˆˆxxxppxi（3.2.8）从（3.2.8）可见，ˆˆxxxppx记ˆˆAB和ˆˆBA之差为ˆˆˆˆˆˆ,ABABBA（3.2.9）称为算符ˆA，ˆB的对易关系或对易子。式（3.2.8）可记为ˆ,xxpi若算符ˆA和ˆB的对易子为零，则称算符ˆA和ˆB对易。利用对易子的定义（3.2.9）式，易证下列恒等式ˆˆˆˆ,,ABBAˆˆ,0AAˆˆ,0ACC为常数ˆˆˆˆˆˆˆ,,,ABCABAC（3.2.10）ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,ABCABCBACˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,BCABACBCAˆˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,,,0ABCBCACAB最后一式称为雅可比恒等式。作为例子，我们讨论角动量算符ˆˆLrpˆˆˆxxyLypzpiyzzyˆˆˆyyzLzpypizxxz（3.2.11）ˆˆˆzyxLxpypixyyx它们和坐标算符的对易子是ˆˆˆ,0,,,,ˆˆˆ,,,0,,ˆˆˆ,,,,,0,xxxyyyzzzLxLyizLziyLxizLyLzixLxiyLyixLz（3.2.12）（3.2.12）式可表示为ˆ,Lxix（3.2.13）上式中，，=1,2,3表示相应的分量，成为列维-斯维塔记号，满足1231（3.2.14）任意两个下脚标相同，则为零。同理可得ˆˆˆ,Lpip（3.2.15）ˆˆˆ,LLiL（3.2.16）式中不为零的等式也可写成ˆˆˆLLiL（3.2.17）坐标和动量的对易子可写为ˆ,xpi（3.2.18）其中10（3.2.19）角动量算符的平方是：2222ˆˆˆˆxyzLLLL（3.2.20）则222222ˆˆˆˆˆˆ,,,0xyzLLLLLL（3.2.21）在球坐标系下sincossincoscosxryrzr（3.2.22）则222cosrxyzzrytgx（3.2.23）将r两边对x求偏导，得：sincosxxr（3.2.24）将coszr两边对x求偏导，得：211coscossinzrxrxr（3.2.25）再将ytgx两边对x求偏导，得：221sinsecsinyxxr（3.2.26）利用这些关系式可求得：11sinsincoscoscossinrxxrxxrrr（3.2.27）同理可得：11cossinsincossinsinryyryyrrr（3.2.28）1cossinrzzrzzrr（3.2.29）则角动量算符可表示为：ˆsincosxLictg（3.2.30）ˆcossinyLictg（3.2.31）ˆzLi（3.2.32）由此可得：2222222222222ˆ[sin2sincoscos+ctgcoscscsincos]xLctgctgctg（3.2.33）2222222222222ˆ[cos2sincossin+ctgsincscsincos]yLctgctgctg（3.2.34）2222ˆzL（3.2.35）所以2222ˆˆˆˆxyzLLLL222211sinsinsin（3.2.36）则2ˆL的本征方程可写为：22211sin,,sinsinYY（3.2.37）在数理方法中已讨论过，必须有：1ll（3.2.38）可解得：,1cosmmimlmlmlYNPe,1,,mlll（3.2.39）lmN为归一化系数，cosmlP为连带勒让得多项式。所以22ˆ,(1),lmlmLYllY（3.2.40）因为l表示角动量太小，所以称为角动量量子数，m称为磁量子数。对应于一个l的值，可以取21l个值，因而对于2ˆL的一个本征值21ll，有21l个不同的本征函数lmY。我们把对应于一个本征只有一个以上的本征函数的情况叫简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。2ˆL的本征值是21l度简并的。同理：ˆ,,zlmlmLYmY（3.2.41）即在lmY态中，体系的角动量在z轴方向投影为zLm一般称0l的态为S态，1,2,3l的态依次为,,pdf态。现在考虑角动量算符的物理意义。设体系绕z轴滚动角并以zR算符变换表示：RzrRr，当1，即在无穷小转动下，对Rr做泰勒展开，准确到一级项有ˆ1RzirLr（3.2.42）因此，状态r在空间转动后变为另一状态Rr，它等于某个变换算符作用于原来态上的结果，而该变换算符ˆziaLzRe，特别在无穷小转动下，ˆ1zziRL，角动量算符纯粹反映空间转动的特征，又称角动量算符为空间转动无穷小算符，从而角动量反映着空间转动变化的特性。算符的乘幂算符ˆA的n次乘幂定义为ˆˆˆˆnAAAA（3.2.20）算符的函数00ˆˆ!nnnFFAAn（3.2.21）算符的逆若算符ˆA满足ˆA且能从上式唯一的解出来，则定义算符ˆA的逆算符1ˆA为1ˆA（3.2.22）并非所有的算符都有逆算符存在。但若1ˆA存在，则必有111ˆˆˆˆˆˆ,0AAAAIAA（3.2.23）3.3厄米算符的本征值和本征函数为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符-厄米算符。为此，先引进一些定义：1.希尔伯特空间中矢量的内积希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定