数列极限及其性质2009

第2讲数列极限概念及其性质授课题目数列极限概念及其性质教学内容1.数列概念，2.数列收敛与发散的定义；3.无穷小数列及其性质；数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性．教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地理解数列极限的分析定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性；学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中与N的关系．学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧.教学重点及难点教学重点：数列极限的分析定义；教学难点：数列极限的分析定义中与N的关系.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明nlim01kn，nlimna0，()1||a，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）；(2)数列极限的分析定义仍是教学难点．对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义；(3)关于数列极限的分析定义的掌握不可要求一步到位，要有一个学习过程，对多数学生可只布置一些简单证明题；（4）可对多数学生重点讲解极限唯一性质、有界性质的证明过程.作业布置作业内容：教材27P:1，2（3，4）；7；8（1，2）.讲授内容一、数列极限概念数列,,,,,21naaa或简单地记为}{na，其中na，称为该数列的通项．关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子．（1）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽.园内接正n边形的面积nRnAn2sin22,4,3(n），当n时，2222sinRnnRAn（2）古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．第一天截下21，第二天截下221，……，第n天截下n21，……这样就得到一个数列,21,,21,212n．或n21.不难看出，数列{n21}的通项n21随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{na，若当n无限增大时na能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．定义1设}{na为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，nN时有||aan则称数列}{na收敛于a，定数a称为数列}{na的极限，并记作aannlim，或)(naan.读作“当n趋于无穷大时，na的极限等于a或na趋于a”．若数列}{na没有极限，则称}{na为发散数列．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．二、根据N定义来验证数列极限例2证明01limnn，这里为正数证：由于,1|01|nn故对任给的0，只要取N=111，则当Nn时，便有Nn11即.|01|n这就证明了01limnn.例3证明333lim22nnn.分析由于nnnn939|333|222).3(n因此，对任给的o，只要n9，便有,|333|22nn即当9n时，(2)式成立．故应取}.9,3max{N证任给,0取}.9,3max{N据分析，当Nn时有,|333|22nn式成立.于是本题得证.例4证明nnqlim=0，这里||q1．证若q=0，则结果是显然的．现设0||q1．记1||1qh，则h0．我们有并由nh)1(1+nh得到.111||nhnhqn对任给的,0只要取,1hN则当Nn时，得|0|nq，这就证明了0limnnq.注：本例还可利用对数函数xylg的严格增性来证明，简述如下：对任给的0(不妨设1)，为使nnqq|||0|，只要lg||lgqn即||lglgqn（这里).1||0q于是，只要取||lglgqN即可。例5证明1limnna，其中a0．证：(ⅰ)当1a时，结论显然成立.(ⅱ)当1a时，记11na，则0.由)1(11)1(1nnanna得.111naan（1）任给0，由(1)式可见，当Nan1时，就有11na，即|1|1na.所以1limnna.(ⅲ)当10a时，,－１１na，则0.由1111)1(1nnanna得.1.11111naanaann（2）任给0，由（2式可见，当Nan11１时，就有na11，即|1|1na.所以1limnna.关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：1．的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么23,2或等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式||aan中的可用或3,22等来代替．2．N的相应性：一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的.3．从几何意义上看，“当nN时有||aan”意味着：所有下标大于N的项ｎa都落在邻域U(;a)内；而在U(a;)之外，数列{na}中的项至多只有N个(有限个)．定义2若0limnna，则称}{na为无穷小数列．由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理1.2数列}{na收敛于a的充要条件是：}{aan为无穷小数列．三、收敛数列的性质定理2.2(唯一性)若数列}{na收敛，则它只有一个极限．定理2.3(有界性)若数列}{na收敛，则}{na为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有证：设aannlim取1，存在正数N，对一切nN有1||aan即.11aaan记|},1||,1||,||,||,max{|21aaaaaMN则对一切正整数n都有naM．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列n1有界，但它并不收敛．定理2.4(保号性)若0limaann(或0)，则对任何),0(aa(或a))0,(a，存在正数N，使得当Nn时有aan(或aan)．证：设0a．取aa(0)，则存在正数N，使得当Nn时有aaan，即aaan，这就证得结果．对于0a的情形，也可类似地证明．注：在应用保号性时，经常取2aa.即有2aan，或2aan定理2.5(保不等式性)设na与nb均为收敛数列．若存在正数0N，使得当0Nn时，有nnba，则.limlimnnnnba请学生思考：如果把定理2.5中的条件nnba换成严格不等式nanb，那么能否把结论换成?limlimnnnnba，并给出理由.例1设,2,10nan．证明：若,limaann则.limaann证：由定理2.5可得.0a若0a，则由0limnna，任给0，存在正数N，使得当Nn时有na2，从而na即,0na故有.0limnna若0a，则有aaaaaaaaannnn.任给0，由aannlim，存在正数N，使得当Nn时有,aaan从而aan．故得证．