2011年全国大学生数学建模A题参考

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：13208002所属学校（请填写完整的全名）：中南民族大学参赛队员(打印并签名)：1.王青春2.王诗怡3.朱倩指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2011年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1城市表层土壤重金属污染分析摘要本文针对城市表层土壤重金属污染分析问题，先用单因子指数法和网格节点插值法作出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图。再用相对平均值法和改进潜在生态危害指数法分析出该城区内不同区域重金属的污染程度。运用Kruskal算法思想，在主成分分析法的基础上找出重金属污染的主要原因。接着考虑金属污染物的传播特征，引入扩散系数，确定出污染源的位置。最后，在问题三基础上，考虑多种因素，得到重金属污染土壤的热质迁移方程，综合反映城市地质环境的演变模式。针对问题一，我们先对数据进行相关分析，发现海拔高度对各重金属元素浓度的影响不大，故只考虑xy、值的影响。再采用单因子分析法建立模型iiCPS，得到的空间分布图仅能反映出某一样点的污染程度，没有联系样点的地理位置。因此，我们采用网格节点插值法，用Mathmatic软件拟合得到空间坐标(,)xy与重金属浓度之间的函数关系（见附录1），并根据函数关系作出空间分布图（图5-4）。针对不同区域重金属的污染程度的问题，我们先采用相对平均值法对数据进行粗略分析，得到工业区的重金属的污染程度最为严重。再采用改进潜在生态危害指数法建立模型12mmIIII，最终求出重金属污染程度为：工业区交通区生活区公园绿地区山区。针对问题二，我们采用主成分分析法与Kruskal算法相结合的方法建立模型进行求解，Kruskal算法的流程图见图5-7，最终得到最小生成树Kruskal算法聚类结果，再结合主成分分析法的结果，得到各重金属对重金属污染的影响程度的大小排序为：HgAsCdPbCrNiCuZn针对问题三，我们根据环境污染物的扩散系数建立污染物传播模型：*2200(()())2kccxxyy，根据蚁群算法对模型进行求解，得到每种重金属元素污染源的位置坐标如下：As(μg/g)Cd(μg/g)Cr(μg/g)Cu(μg/g)Hg(μg/g)Ni(μg/g)Pb(μg/g)Zn(μg/g)x(m)4948214393299270827082383164713797y(m)729311383601822952295369227289621针对问题四，我们采用Whitaker体积平均方法理论，建立耦合模型（见方程组（8-11））。通过模型分析，得到还应收集的信息有：温度T、水含量、压力P、液体速度1V、气相速度gV、蒸汽扩散速度vV、单位体积的蒸发或冷凝率。关键词：改进潜在生态危害指数法；改进的AHP法；Kruskal算法；蚁群算法2一、问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求解决以下四个问题：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？二、问题分析2.1问题一的分析问题一要求给出各重金属元素的空间分布并分析不同区域重金属元素的重金属的污染程度。针对重金属元素的空间分布问题，我们先做相关分析，排除了海拔高度的影响。再采用单因子分析法，得出的空间分布图仅能反映某一样点的污染程度，没有与样点的地理位置相联系，所以我们改用网格节点插值法，得到样点坐标与重金属浓度之间的函数关系，即可得到空间分布图。针对不同区域重金属的污染程度的问题，我们先采用相对平均值法简单的处理数据，只能大概判断出污染最为严重的区域。再采用改进潜在生态危害指数法建立模型，通过各个区域的潜在生态危害指数值来判断其污染程度的大小。2.2问题二的分析问题二中，要求通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。我们先采用主成分分析法建立模型。计算出各重金属元素的贡献率，贡献率越大的表示对重金属污染的影响越大，即可找到重金属污染的主要原因。在主成分分析法的基础上，我们采用Kruskal算法进行求解，得到Kruskal算法的进化树，再结合主成分分析法的结果，最终得到重金属污染的主要原因。2.3问题三的分析问题三中，要求分析重金属污染物的传播特征以确定污染源的位置。传播特征即是污染物扩散或转移特征，污染物的扩散的引起的变化最终还是的反映在污染物含量分布3的变化。建立含量与污染源距离的微分方程，通过蚁群算法，搜索最优解可确定污染源的位置。2,4问题四的分析问题四中，要求分析为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息和建立什么模型。我们采用Whitaker体积平均方法理论，建立耦合模型，描述非饱和土壤床层内热湿及重金属污染物迁移机制。描述土壤中热质迁移过程的重要场量，主要有温度T、水含量、压力P、液体速度1V、气相速度gV、蒸汽扩散速度vV、单位体积的蒸发或冷凝率，重金属污染物在土壤溶液中的浓度iC。题目中仅给出了重金属污染物在土壤溶液中的浓度，所以还应收集剩余7种信息。三、模型假设1.假设题目所给的数据真实可靠。2.假设经济发展稳定，不会发生重大地质或者经济灾害。四、符号说明iP重金属在第i个采样点的单因子指数iC重金属在第i个采样点的浓度S表层土壤中重金属元素的背景值ij第i种重金属在第j个样点的污染系数ijE第i种重金属在第j个样点的潜在生态危害系数jI第j个样点的多种重金属综合潜在生态危害指数I某一区域的多种重金属综合潜在生态危害指数i第i个重金属元素的权重T温度水含量P压力1V液体速度gV气相速度vV蒸汽扩散速度单位体积的蒸发或冷凝率五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型的建立（1）数据处理分析数据，我们发现重金属Cd和Hg的浓度的单位为ng/g，所以我们先进行单位转换，将单位统一为ug/g。4（2）相关分析根据附件一中各样点的海拔高度画出该城区的地貌图。利用Surfer软件中的克里金插值法作出的图形如下：图5-1由上图可知，不同样点的海拔高度不同，故我们要判断出海拔高度对各重金属元素的影响。随机选取几种重金属，分别作出它们的浓度与海拔高度之间的柱状图。下面以As和Ni的柱状图为例进行分析。As随海拔的变化051015202530046912151923272935404553627893153海拔/m含量(ug/g)Ni随海拔的变化010203040506070800817274162115海拔/m含量(ug/g)图5-2从上图可知，柱状图基本分布均匀，即海拔高度对各重金属元素浓度的影响不大。所以，在后面处理问题时忽略海拔高度对各重金属元素浓度的影响。（3）建立模型①单因子指数法本问中要求分别给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，即可将此问题看作单一因子问题，所以我们采用单因子指数法对各重金属元素的浓度进行处理。单因子指数法是将某种重金属实测浓度与该种重金属的评价标准进行比较以确定重金属污染类别的方法。故得到计算公式如下：5iiCPS（5-1）式中，iP为重金属在第i个采样点的单因子指数；iC为重金属在第i个采样点的浓度，S为表层土壤中重金属元素的背景值（评价标准值）。当1iP时，表明未受污染，1iP表示己经受到污染，iP数值越大，说明受到的污染越严重。②网络节点插值法仿照一元函数的插值方法，采用双线性插值，即两次线性插值对二维函数的数据表格做插值。双线性插值函数的形式为：(,)()()fxyAxyBxCyDaxbcxd先假设需估计的矩形区域为1iixxx和1jjyyy一些点(,)xy的函数值，在y方向上做线性插值，则1(,)ixy和1(,)ixy处的值为：1111111(,)(,)(,)jjiijijjjjjyyyyfxyfxyfxyyyyy11111(,)(,)(,)jjiijijjjjjyyyyfxyfxyfxyyyyy然后做1(,)ifxy和1(,)ifxy的线性插值，得：11111(,)(,)(,)jjiijjjjxxxxgxyfxyfxyxxxx这两步结合即为双线性插值。5.1.2模型的求解（1）单因子指数法的求解先将采样点按区域划分，再将附件二三中的数据带入5-1中，分别求出各重金属元素在各采样点的单因子指数，如下表所示（以工业区各重金属元素的单因子指数为例）。编号As的单因子指数Cd的单因子指数Cr的单因子指数Cu的单因子指数Hg的单因子指数Ni的单因子指数Pb的单因子指数Zn的单因子指数41.821.721.291.9127.141.251.041.7063.918.412.1923.3829.712.2914.0314.0182.678.209.21191.55385.713.3912.3120.55296.083.272.374.5243.432.262.702.55305.114.853.128.7018.432.834.2123.57312.934.892.077.685.432.305.258.911030.652.720.790.960.340.731.901.291532.603.131.794.683.201.962.163.021771.332.231.363.111.631.422.483.441850.452.280.501.390.540.351.301.541971.331.371.042.201.291.161.551.522212.413.261.988.936.172.465.774.252231.987.441.175.361.891.373.856.6462241.273.430.9110.003.971.052.824.392252.293.24