高中数学北师大版选修2-3第二章《概率》测试题

第二章测试《概率》(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设随机变量X的概率分布如下：X－101P1213p则P(X0)等于()A．0B.16C.13D．不确定解析由分布列的性质得12＋13＋p＝1，∴p＝16，∴P(X0)＝P(X＝1)＝p＝16.答案B2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：X135P0.5m0.2则其数学期望EX等于()A．1B．0.6C．2＋3mD．2.4解析由0.5＋m＋0.2＝1，得m＝0.3.∴EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.答案D3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y6)的值为()A．0.3B．0.5C．0.1D．0.2解析由Y＝2X－16，得X3.5，∴P(Y6)＝P(X3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.答案A4．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯次数的数学期望为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6解析∵途中遇到红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴EX＝3×0.4＝1.2.答案B5．投掷3枚一元硬币，至少有一枚出现正面向上的概率为()A.38B.12C.58D.78解析P＝1－C33(12)3＝1－18＝78.答案D6．位于西部地区的A，B两地，据多年来的资料记载：A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天B地也为雨天的概率是()A.17B.14C.13D.34解析由题意知P(A)＝0.06，P(B)＝0.08，P(AB)＝0.02，∴P(B|A)＝PABPA＝0.020.06＝13.答案C\7．在10个球中有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率为()A.35B.25C.13D.59解析记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件B，则P(A)＝610，P(AB)＝610×59＝13，∴P(B|A)＝PABPA＝13×106＝59.答案D8．已知离散型随机变量X的分布列如下：X012Pa4a5a则均值EX与方差DX分别为()A．1.4,0.2B．0.44,1.4C．1.4,0.44D．0.44,0.2解析∵a＋4a＋5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5.∴EX＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4.DX＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.答案C9．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为()A.C35·C14C45B．C14×(59)3×49C．(59)3×49D.35×14解析由题意知，前3次取得黑球，第4次取得白球，因为是有放回的取球，故所求概率为(59)3×49.答案C10．某人射击一次命中目标的概率为12，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为()A．C36(12)6B．A24(12)6C．C24(12)6D．C14(12)6解析射击6次命中3次恰有2次连续命中有A24种可能．因此，所求概率为P＝A24(12)3(1－12)3＝A24(12)6.答案B11．某厂生产的零件外直径X～N(8,0.152)(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为()A．上、下午生产情况均正常B．上、下午生产情况均为异常C．上午生产情况正常，下午生产情况异常D．上午生产情况异常，下午生产情况正常解析由X～N(8,0.152)知，μ＝8，σ＝0.15，∴μ－3σ＝7.55，μ＋3σ＝8.45.∵7.9∈(7.55,8.45)，而7.5∉(7.55,8.45)，∴上午生产情况正常，下午生产情况异常．答案C12．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a、b、c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1，(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16解析由已知3a＋2b＋0×c＝1，∴3a＋2b＝1，∴ab＝16·3a·2b≤163a＋2b22＝16·122＝124.当且仅当3a＝2b＝12，即a＝16，b＝14时取“等号”．故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．一离散型随机变量X的分布列为X0123P0.1ab0.1且EX＝1.5，则a－b＝________.解析∵EX＝1.5，∴0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.5.∴a＋2b＝1.2.①又0.1＋a＋b＋0.1＝1，∴a＋b＝0.8.②由①，②得a＝0.4，b＝0.4，∴a－b＝0.答案014．若随机变量X的分布列为X01Ppq其中p∈(0,1)，则EX＝______，DX＝______.解析EX＝0×p＋1×q＝q，DX＝(0－q)2×p＋(1－q)2q＝pq2＋p2q＝pq(q＋p)＝pq.答案qpq15．某地震监测预报的准确率为0.60，那么连续5次预报中，有4次准确的概率为________．(保留两个有效数字)解析P＝C450.64×(1－0.6)＝5×0.1296×0.4≈0.26.答案0.2616．已知一盒中有围棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出2粒，若X表示取得白子的个数，则X的数学期望Eξ＝________.解析P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C17C13C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，∴EX＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案35三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)假定每人生日在各个月份的机会是相等的．求3个人中生日在第二季度的平均人数．解由题意知，每人生日在第二季度的概率为312＝14，设3人中生日在第二季度的人数为ξ，则ξ服从二项分布B(3，14)，所以Eξ＝3×14＝0.75.答：3人中生日在第二季度的平均人数为0.75.18．(12分)口袋里装有大小相同的卡片8张，其中3张标有数字1,3张标有数字2,2张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后，第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上的数字之和为X，求X的数学期望．解依题意，随机变量X的取值是2,3,4,5,6.P(X＝2)＝3282＝964，P(X＝3)＝2×3282＝1864，P(X＝4)＝32＋2×3×282＝2164，P(X＝5)＝2×3×282＝1264，P(X＝6)＝2282＝464.∴X的分布列为ξ23456P964186421641264464∴EX＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154.19．(12分)某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B|A)．解(1)X的所有可能取值为0,1,2.依题意得：P(X＝0)＝C34C36＝15，P(X＝1)＝C12C24C36＝35，P(X＝2)＝C22C14C36＝15.∴X的分布列为X012P153515(2)设“男生甲或女生乙被选中”为事件C，则P(C)＝C34C36＝15，∴P(C)＝1－P(C)＝1－15＝45.(3)P(A)＝C25C36＝12，P(AB)＝C14C36＝15.∴P(B|A)＝PABPA＝25.20．(12分)甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中的环数与次数如下表：环数5678910次111124乙射击的概率分布如下表：环数78910概率0.20.3p0.1(1)若甲、乙各打一枪，求击中18环的概率及p的值；(2)比较甲、乙两人射击水平的优劣．解(1)由题意及概率分布列的性质可知p＝1－(0.2＋0.3＋0.1)＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X，Y，则P(X＝8)＝110＝0.1，P(X＝9)＝210＝0.2，P(X＝10)＝410＝0.4；P(Y＝8)＝0.3，P(Y＝9)＝0.4，P(Y＝10)＝0.1.所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为P＝P(X＝8)P(Y＝10)＋P(X＝9)P(Y＝9)＋P(X＝10)P(Y＝8)＝0.1×0.1＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.21.(2)甲的期望为EX＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4.乙的期望为EY＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.甲的方差为DX＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04.乙的方差为DY＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.∵EX＝EY，DXDY，∴乙比甲技术好．21．(12分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜(即5局内谁先胜3局就算胜，结束比赛)．(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；(2)按比赛规则求甲获胜的概率．解(1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率是12，乙获胜的概率也是12.记“甲打完三局才能取胜”为事件A，记“甲打完4局才能取胜”为事件B，记“甲打完5局才能取胜”为事件C.①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝C33(12)3＝18.②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)＝C23×(12)2×12×12＝316.③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)＝C24×(12)2×(12)2×12＝316.(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C.又∵事件A，B，C彼此互斥，故P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝18＋316＋316＝12，∴按比赛规则甲获胜的概率为12.22．(12分)某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率．(2)商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买一件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利．解(1)从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有C39种不同的选法，选出的3种商品，没有日用商品的选法有C35种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P＝1－C35C39＝1－542＝3742.(2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量X，其所有可能的取值为0,100,200,300(单位：元)．P(X＝0)＝(12)3＝18，同理可得P(X＝100)＝C13(12)·(12)2＝38，P(X＝200)＝C23(12)2·(12)＝38，P(X＝300)＝(12)3＝18.于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数