2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第15讲 导数在函数中的应用

1()2()()．了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间对多项式函数一般不超过三次．．了解函数在某点取得的极值的必要条件和充要条件；会用导数求函数的极大值、极小值对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上的函数的最大值、最小值对多项式函数一般不超过三次．1()0()0()()2()0)(10()abyfxfxyfxabfxababfxabyfxfxfxababfx对于定义在区间，内连续不间断的函数＝，由＝在，内单调递增在，内恒成立，其中，为的单调递增区间；对于定义在区．函数的单调性间，内连续不间断的函数＝，由①　在，内恒成立，其中区间，为的单与调其导数的关系递减区间．00000000001_____________________22fxxxxxfxfxyfxxfxfxyfxxxfx极大值极小值极值与极值点：设函数在点及其附近有定义，如果对附近的异于的所有点，都有②，则称为的极大值，记作＝，为极大值点．反之，若③，则称为的极小值，记作＝，为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为．函数极值点．若为可导函数的极值与其导数的关的极值点系，则有④_____；反之，不一定成立．00max00min01___________2[]__________[]3yfxIxxIfxyfxfxyfxyfxabab．函数的最值：如果在函数＝的定义域内存在，使得对任意的，都有⑤，则称为函数的最大值，记作＝；反之，若有⑥，则称为函数的最小值，记作＝．最大值和最小值统称为最值；如果函数的最函数＝在闭区间，上的图象是⑦的曲线，则该函数在闭区间值与其的关系，导数上一定能够取得最大值与最小值．4()()()()()()()ab极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质．极大小值不一定是最大小值，最大小值也不一定是极大小值，极大值不一定比极小值大．但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间，内只有一个极值．极值与最值的区，那么极大小值就别与是最大系小联值．00000()0yfxabfxfxfxfxfxfxfxfxfx【要点指①＝在，内单调递减；②；③；④＝；⑤；⑥；⑦一条南】连续不间断1.在区间(a，b)内，“f′(x)0”是“f(x)在区间(a，b)内单调递增”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件易错点：易错选C，事实上，f(x)在区间(a，b)内单调递增，f′(x)≥0，如f(x)＝x3，x∈(－2,3)，此时f′(x)＝3x2≥0(在x＝0时，f′(x)＝0.)2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5【解析】因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，所以f′(－3)＝30－6a＝0，解得a＝5，此时f′(x)＝(3x＋1)(x＋3)满足条件，故a＝5.3.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值是3，最小值是－17.【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1(x＝1舍去)．而f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，故f(x)在[－3,0]的最大值是3，最小值是－17.4.函数y＝3x2－6lnx的单调递减区间是(0,1).【解析】函数y＝3x2－6lnx的定义域为(0，＋∞)，又y′＝6x－6x，由6x－6x0⇒x06x＋1x－1x0⇒0x1.所以函数的单调递减区间是(0,1)．易错点：忽视函数的定义域．5.如图是y＝f(x)是导函数的图象，对于下列四个判断：①f(x)在[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；④x＝3是f(x)的极小值点．其中正确的是②③.【解析】由导函数研究函数性质，主要注意导函数值的正、负及零值，对应性质：①因在(－2，－1)上，f′(x)0，所以f(x)在[－2，－1]上递减；②当x＝－1时，f′(－1)＝0且x－1时，f′(x)0，x∈(－1,2)时，f′(x)0，故f(x)以x＝－1处有最小值；③在(－1,2)处，f′(x)0，在(2,4)上，f′(x)0，故f(x)在[－1,2]上递增，在[2,4]上递减；④当x＝3时，f′(x)0，故x＝3不是f(x)的极值点．因此正确的是②③.一函数的单调性与导数【例1】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)·e－x(x∈R)．(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．【解析】(1)因为a＝－2，所以f(x)＝(－x2－2x)·e－x，所以f′(x)＝(－2x－2)·e－x－(－x2－2x)·e－x＝e－x(x2－2)＝e－x·(x＋2)(x－2)．由f′(x)0，得－2x2，故函数f(x)的单调减区间是(－2，2)．(2)因为f′(x)＝(－2x＋a)·e－x－(－x2＋ax)·e－x＝e－x·[x2－(a＋2)x＋a]．若f(x)在(－1,1)内单调递减，则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，而e－x0，即x2－(a＋2)x＋a≤0在x∈(－1,1)上恒成立，所以(1－x)a≤2x－x2，x∈(－1,1)，所以a≤1－1－x21－x＝11－x－(1－x)，x∈(－1,1)恒成立，而y＝11－x－(1－x)在(－1,1)上为增函数，所以y－32，故a≤－32.(3)若f(x)在R上是单调函数，则f′(x)＝0至多有一个实数根，即x2－(a＋2)x＋a＝0无实根或有两相等实根，所以Δ＝(a＋2)2－4a≤0，所以a4＋4≤0不成立．故函数f(x)在R上不可能为单调函数．【点评】(1)f′(x)0(或f′(x)0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈(a，b)恒成立，但f′(x)不恒为0.(2)已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′(x)不恒等于0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定．(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1.①若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围是(－∞，0]；②若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围是[3，＋∞)；(2)函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增函数()A．(π2，3π2)B．(π，2π)C．(3π2，5π2)D．(2π，3π)素材1【解析】(1)因为f′(x)＝3x2－a.①若f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，所以a≤0.②若f(x)在(－1,1)上单调递减，则3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立，所以a≥3.(2)因为y′＝sinx＋x·cosx－sinx＝x·cosx，满足y′0的区间为(3π2，5π2)，故选C.二函数的极值与导数【例2】设a0，函数f(x)＝ax＋bx2＋1，b为常数．(1)证明：函数f(x)的极大值和极小值点各有一个；(2)若函数f(x)的极大值为1，极小值为－1，试求a的值．【分析】(1)若证明有两个极值点，则先求证f′(x)＝0有两不等实根，且f′(x)＝0的点左、右两边导数异号，由极值定义证明．(2)根据(1)及f(x)＝1和f(x)＝－1求a的值．【解析】(1)证明：f′(x)＝ax2＋1－ax＋b·2xx2＋12＝－ax2－2bx＋ax2＋1.由f′(x)＝0，即ax2＋2bx－a＝0，又a0，所以Δ＝4b2＋4a20，设方程有两不等实根x1，x2(不妨设x1x2)，所以f′(x)＝－ax－x1x－x2x2＋12，所以当x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)0；所以f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)上递减，在(x1，x2)上递增，所以f(x)在x＝x2处有极大值，在x＝x1处有极小值，因此，函数f(x)的极大值和极小值点各有一个．(2)由(1)知，f(x2)＝1，f(x1)＝－1，其中x1＋x2＝－2ba，x1x2＝－1，ax2＋bx22＋1＝1ax1＋bx21＋1＝－1，所以ax2＋b＝x22＋1①ax1＋b＝－x21－1②，①＋②，得a(x1＋x2)＋2b＝x22－x21，所以－2b＋2b＝(x1＋x2)(x2－x1)＝0，又x2x1，所以x1＋x2＝0，所以b＝0，则f′(x)＝0，即为a(x2－1)＝0，所以x1＝－1，x2＝1，所以a2＝1，所以a＝2.【点评】(1)运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导函数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)根据定义，极值点是区间[a，b]内部的点，不会是区间的端点a、b，且极值必须在区间内的连续点处取得．(3)一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值与极大值没有必然的大小关系．如果函数在[a，b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，极大值点与极小值点是交替出现的．(4)若函数f(x)在[a，b]内有极值，则f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间[a，b]上单调的函数没有极值．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同，不可导的点也可能是极值点．(1)函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(B)A．(3，－3)B．(－4,11)C．(3，－3)或(－4,11)D．不存在(2)已知函数f(x)＝x·e－x(x∈R)，则函数f(x)有极大值(填“大”或“小”)为1e.素材2【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax－b，又函数在x＝1处有极值10，则f′1＝0f1＝10，即3－2a－b＝01－a－b＋a2＝10，解得a＝3b＝－3或a＝－4b＝11.而当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故函数f(x)没有极值点，而当a＝－4，b＝11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，故存在极值点，因此选B.(2)因为f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)．由f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(－∞，1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，所以f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故f(x)有极大值为f(1)＝1e.三函数的最值与导数【例3】已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．【分析】(1)已知解析式，求单调区间，实质上就是求f′(x)0与f′(x)0的解区间，但要注意定义域；(2)求闭区间上函数