特殊平行四边形新题型问题探究

-1-特殊平行四边形新型问题探究四边形是初中数学的重点内容之一，深受考试命题者的青睐，年年有新意，岁岁出妙题.现选析部分省市中考题，供同学们学习.一、方案设计型例1正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如下：仿上用图示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）如图1，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.（2）如图2，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形.解析：本题的设计方法多种，下面提供一例作为参考：（1）（2）二、图案设计型例2在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形座垫，座垫的图案如图3所示，应该选图3—2中的哪一块布料才能使其与右图拼接符合原来的图案模式（）解析：本题是一道与正方形有关的图案设计问题，利用旋转知识，结合中心对称，可图1图2①②①②①②中点中点①②中点中点①②③①②③图3—1图3—2BCD知正确答案应为C.三、猜想型例3如图4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F.请你判断线段BF与图中的哪条相等，先写出你的猜想，在加以证明.（1）猜想：BF=；（2）证明：解析：（1）猜想：BF=DE.证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠C.∵AE=BE，∴∠ABE=∠1.∴∠1=∠C.∵DE⊥BC于E，BF⊥AE于F，∴∠AFB=∠CED=90°.又∵AB=CD，∴△AFB≌△CED.∴BF=DE.四、开放型例4如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.解：添加的条件：.理由：解析：本题也是条件开放型问题.添加的条件：对角线相等.理由：连结AC和BD.∵在△ABC中，AE=BE，BF=CF，∴EF=21AC.同理FG=21BD，GH=21AC，HE=21BD.又∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE.∴四边形EFGH为菱形.例5如图6，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F.请写出图中三对全等的三角形：；；；请你自选其中的一对加以证明.（2004年无为县）解析：本题是结论开放型考题.有:△AOD≌△COB，△EOB≌△FOD，△COF≌△AOE，△CAOD≌△AOB，△ACD≌△CAB，△ABD≌△COB，△AOD≌△CDB（只需三对即可）.ABFDCE图41CADHFGBE图5OBCD图6AFE-3-证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠DAO=∠BCO，OA=OC.∴△AOD≌△COB.五、运动型例6如图7，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长为.解析：连结CH.由正方形EFCG是正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到的，则DH=FH，∠BCF=∠DCG=30°.∴∠DCF=60°.∴∠DCH=30°.∴CH=2DH.在Rt△DCH中，DH2+DC2=CH2，即DH2+32=4DH2，∴DH=3.六、格点型例7正方形网格中，小格的顶点叫做格点.小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形.小华在图8（1）的正方形网格中作出了Rt△ABC.请你按照同样的要求，在图8（2）、图（3）正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.解析：正确的图形可作如下.说明：本题还有许多种作法，只要符合题意都正确.七、游戏型例8图9是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）ACB图8（2）图8（1）图8（3）图7GFCABDEH4号袋2号袋图9-13号袋1号袋A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋解析：通过绘制反射图（如图9—2虚线部分），得知该球最后将落入2号球袋.故应选B.与特殊四边形有关的创新题探索型试题是各地中考试题中的重要类型，特别是涉及到特殊四边形有关探索型试题非常多，比较常见的有探索四边形的形状、探索线段之间的关系等问题.一、探索四边形的形状例1（贵阳）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC\BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为E、F；（1）连结AE、CF，得四边形AFCE，试判断四边形AFCE是下列图形中的哪一种？①平行四边形；②菱形；③矩形；（2）请证明你的结论；分析：要判别四边形AFCE是①平行四边形；②菱形；③矩形哪一种，首先要判断这个四边形是否是平行四边形，如果是平行四边形，然后再判断是否邻边相等或对角线垂直，若成立，则是菱形；若不是菱形，再判断对角线是否相等或是否有一个角是直角，若成立，则该四边形是矩形.解：（1）画图连结AE、CF，四边形AFCE为平行四边形（2）证明：∵AF⊥BD，CE⊥BD，∴∠AFO=∠CEO，又∵∠AOF=∠COE，∴OA=OC，∴⊿AOF≌⊿COE，∴OF=OE.又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形评注：当四边形中涉及对角线时，一般根据“两条对角线互相平分的四边形是平行四4号袋2号袋图9-23号袋1号袋-5-边形”证明平行四边形.例2(湛江)如图2，点EFGH，，，分别为四边形ABCD的边ABBCCDDA，，，的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．分析：因为点E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，中点联想中位线，所以连接AC，可利用三角形的中位线的性质，证明HG//EF，HG=EF，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行三边形说明四边形HEFG是平行四边形.解：四边形EFGH是平行四边形证明：连结AC，如图2．因为E、F分别是AB、BC的中点，所以EF是ABC△的中位线，所以EF//AC，且12EFAC．同理：GHAC∥，且12GHAC，所以EFGH∥．所以四边形EFGH是平行四边形．评注：当已知四边形各边的中点时，一般需要连接四边形的对角线，将四边形转化为两个三角形，然后利用三角形中位线的性质解决问题.二、猜想数量关系例3（大连）如图3，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE=BF.请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须研究一组线段相等即可).⑴连结_______________；⑵猜想：_______________；⑶证明：(说明：写出证明过程中的重要依据)分析：本题是一道条件和结论开放性问题，正确给出条件，是猜想结论的关键.由四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD=BC，再根据已知条件DE=BF，所以可连接CF，通过证明BFCDEA来得到结论CF=AE.所以猜想的结论可以是CF=AE.解：(1)CF.(2)CF=AE.(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等），∴∠ADB=∠CBD（两直线平行内错角相等），∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等)ABCGDHFE图2∵DE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴CF=AE（全等三角形的对应边相等）.评注：添加条件，猜想结论是一类重要的题目，解决问题的关键是依据已知条件并结合已知图形的性质，进行添加和猜想.中考正方形新题赏析正方形是一种特殊的平行四边形，更是一种特殊的矩形和特殊的菱形.所以处理开放型问题相对而言是比较复杂的，而近年来中考又不断加大有关正方形问题的创新力度，所以求解时一定要充分运用所学知识，抓住有关正方形问题的本质特征.为了方便同学们学习，现以中考试题为例说明如下：一、正方形的面积问题例1（临安市）如图1，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A.2B.4C.8D.10分析要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积的四分之一，于是即求.解根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一，而正方形的面积是16，所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.说明本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化，抓住这一点问题就可以简洁求解.二、直角三角形拼正方形问题例2（烟台市）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图2所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3＋b4的值为（）A.35B.43C.89D.97图2图1-7-分析要求a3＋b4的值，由已知条件，利用勾股定理，结合方程的知识可以分别求出a、b.解因为直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，所以大正方形的边长由勾股定理，得c2＝a2+b2，小正方形的边长是a－b，又因为大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，即c2＝a2+b2＝13，(a－b)2＝1，所以ab＝6，消去b，得a4－13a2＝－36，配方，得(a2－132)2＝254.即a＝3或2，所以b＝2或3，又较长直角边为a，较短直角边为b，所以a＝3，b＝2，所以a3＋b4＝43.故应选B.说明求解时一定要理解并图的意义，从中找出已知量与未知量之间的关系.三、用正方形与矩形拼正方形问题例3（烟台市）如图3，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为＿＿＿.分析16张卡片，拼成一个正方形，而边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，由此可知正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.解因为边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，而用这16张卡片拼成一个正方形，所以正方形的每边上应有4张，而且这个正方形的边长应为a+3b.但拼得的正方形的形式是不一样的，如图4就是其中的一种.说明这是一道结论开放型问题，只要符合题意且结论正确的都可以.四、正方形的操作问题例4（旅顺口区）如图5，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是如图6所示的（）DCBA图6图5图3a图4bab分析要想知道展开后得到的图案是什么，可以依据题意，结合正方形的图形特征，发挥想象即可求解.解因为将正方形沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，就是说这个正方形上共有6个小圆，其中分成3组关于正方形的对角线即折痕对称，且1对圆在两个直角的顶点上，2对圆位于对角线即折痕的两侧.故应选C.说明这种图形的操作问题的求解一定要在灵活运用基础知识的同时，充分发挥想象，并能大胆地归纳与推断.五、利用正方形探索规律问题例5（江西省）用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图7一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片＿＿＿张；（2）第n个图案中有白色纸片＿＿＿张.分析要解答这两个问题，只要能求出第n个图案中有白色纸片的张数即可，由于第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，由此可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张，从而求解.解因为第1个图案中有白色纸片1张，第2个图案中有白色纸片7张，第3个图案中有白色纸片10张，…，所以可以得到第n个图案中有白色纸片3n+1张.于是（1）当n＝4时，3n+1＝13；（2）3n+1.说明这种利用几何图形探索规律型问题是近年各地中考的热点，同学们在求解时一定要通过认真的观察、归纳、猜想、验证，才能正确地获解.第3个第2个第1个图7