ch反常积分的收敛判别法

数学分析定理8.2.1（Cauchy收敛原理）反常积分adxxf)(收敛的充分必要条件是：对任意给定的0，存在aA0，使得对任意0,AAA，有AAdxxf)(。下面以adxxf)(为例来探讨反常积分敛散性的判别法。由于反常积分adxxf)(收敛即为极限AlimAadxxf)(存在，因此对其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的Cauchy收敛原理，它可以表述为如下形式：一、反常积分的Cauchy收敛原理数学分析虽然Cauchy收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件，但是对于具体的反常积分，在使用上往往比较困难，因此需要导出一些便于使用的收敛判别法。定理8.2.2（比较判别法）设在),[a上恒有)()(0xKxf，其中K是正常数。则（1）当adxx)(收敛时adxxf)(也收敛；（2）当adxxf)(发散时adxx)(也发散。二、无穷区间形式1、非负函数反常积分的收敛判别法数学分析例8.2.1讨论dxaxxx123sin2cos的敛散性（a是常数）。解因为当1x时有xxaxxx1sin2cos23，已知dxxx11收敛，由比较判别法，dxaxxx123sin2cos绝对收敛，所以dxaxxx123sin2cos收敛。注记：在以上定理中，条件“在),[a上恒有)()(0xKxf”，可以放宽为“存在aA，在),[A上恒有)()(0xKxf”。数学分析推论（比较判别法的极限形式）设在),[a上恒有0)(xf和0)(x，且lxxfx)()(lim，则（1）若l0，则adxx)(收敛时adxxf)(也收敛；（2）若l0，则adxx)(发散时adxxf)(也发散。所以，当l0时，adxx)(和adxxf)(同时收敛或同时发散。数学分析⑵若0)()(limlxxfx，存在常数aA，使得当Ax时成立lxxf)()(，其中ll0（当l时，l可取任意正数）证⑴若lxxfx)()(lim，则存在常数aA，当Ax时成立1)()(lxxf，即)()1()(xlxf。于是，由比较判别法，当adxx)(收敛时adxxf)(也收敛。即)()(xlxf。于是，由比较判别法，当adxx)(发散时adxxf)(也发散。数学分析将定理8.2.2中的)(x取为px1，就得到如下的Cauchy判别法：例8.2.2讨论dxxxxx1323412531的敛散性。解因为xlim11253323434xxxxx，由于dxx1341收敛，所以dxxxxx1323412531收敛。定理8.2.3（Cauchy判别法）设在),[a),0(上恒有0)(xf，K是正常数。⑴若pxKxf)(，且1p，则adxxf)(收敛；⑵若pxKxf)(，且1p，则adxxf)(发散。数学分析例8.2.3讨论dxexxa0的敛散性（Ra）。推论（Cauchy判别法的极限形式）设在),[a),0(上恒有0)(xf，且lxfxpx)(lim，则（1）若l0，且1p，则adxxf)(收敛；（2）若l0，且1p，则adxxf)(发散。解因为对任意常数Ra，有xlim0)e(2xaxx，由Cauchy判别法的极限形式（1），可知dxexxa0收敛。数学分析定义8.2.1设)(xf在任意有限区间],[Aa),[a上可积，且adxxf)(收敛，则称adxxf)(绝对收敛（或称)(xf在),[a上绝对可积）。若adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称adxxf)(条件收敛（或称)(xf在),[a上条件可积）。推论若反常积分adxxf)(绝对收敛，则它一定收敛。证1对任意给定的0，由于adxxf)(收敛，所以存在aA0，使得对任意0,AAA，成立AAdxxf)(。利用定积分的性质，得到AAAAdxxfdxxf)()(，由Cauchy收敛原理，可知adxxf)(收敛。2、绝对收敛与条件收敛数学分析定义8.2.1设)(xf在任意有限区间],[Aa),[a上可积，且adxxf)(收敛，则称adxxf)(绝对收敛（或称)(xf在),[a上绝对可积）。若adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称adxxf)(条件收敛（或称)(xf在),[a上条件可积）。推论若反常积分adxxf)(绝对收敛，则它一定收敛。2、绝对收敛与条件收敛证2).)()((21)(xfxfx令,)()(0)(xfxx，且,)(收敛dxxfa.)(也收敛dxxa,)()(2)(xfxxf又,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf,)()(2)(aaadxxfdxxdxxf即收敛.数学分析设adxxf)(2收敛，证明adxxxf)(收敛（a0）。例1证)](1[21|)(|22xfxxxf且adxxf)(2，adxx21收敛，由比较判别知adxxxf|)(|收敛，故adxxxf)(收敛。数学分析定理8.2.4（积分第二中值定理）设)(xf在],[ba上可积，)(xg在],[ba上单调，则存在],[ba，使得badxxgxf)()(badxxfbgdxxfag)()()()(。证我们只对)(xf在],[ba上连续，)(xg在],[ba上单调且)(xg在],[ba上可积的情况加以证明。记)(xFxadttf)(，则)(xF在],[ba连续，且0)(aF。由于)(xf在],[ba上连续，于是)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数，利用分部积分法，有badxxgxf)()(baxgxF)()(badxxgxF)()(。3、一般函数反常积分的收敛判别法数学分析badxxgxf)()(baxgxF)()(badxxgxF)()(上式右端的第一项)()()()(bgbFxgxFbabadxxfbg)()(，而在第二项中，由于)(xg单调，因此)(xg保持定号，由积分第一中值定理，存在],[ba，使得,)()()()()()()(ababadxxfagbgdxxgFdxxgxF于是。baababadxxfbgdxxfagdxxfagbgdxxfbgdxxgxf)()()()()()()()()()()(数学分析注记在定理8.2.4的假设下，还有如下结论：（1）若)(xg在],[ba上单调增加，且0)(ag，则存在],[ba，使得bbadxxfbgdxxgxf)()()()(；（2）若)(xg在],[ba上单调减少，且0)(bg，则存在],[ba，使得abadxxfagdxxgxf)()()()(。数学分析证设是任意给定的正数。（1）若Abel判别法条件满足，记G是|)(|xg在),[a的一个上界，因为adxxf)(收敛，由Cauchy收敛原理，存在aA0，使得对任意0,AAA，有GdxxfAA2)(。定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则adxxgxf)()(收敛：（1）（Abel判别法）adxxf)(收敛，)(xg在),[a上单调有界；（2）（Dirichlet判别法）AadxxfAF)()(在),[a上有界，)(xg在),[a上单调且0)(limxgx。由积分第二中值定理，22)()()()()()()()(AAAAAAdxxfGdxxfGdxxfAgdxxfAgdxxgxf数学分析⑵若Dirichlet判别法条件满足，记M是)(AF在),[a的一个上界。此时对任意aAA,，显然有MdxxfAA2)(；因为0)(limxgx，所以存在aA0，当0Ax时，有Mxg4)(。于是，对任意0,AAA，AAAAdxxfAgdxxfAgdxxgxf)()()()()()(|)(|2|)(|2AgMAgM22。所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有adxxgxf)()(收敛的结论。这两个判别法有时也统称为A-D判别法。数学分析阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。狄利克萊Dirichlet,JohannPeterGustavLejeune(1805-1859)国际性数学奖除了菲尔兹奖和沃尔夫奖（WolfMedal）之外，2003年又增加了一个新成员——一项奖金额约80万美金的数学终身成就奖——阿贝尔奖。数学分析非凡的数学家——阿贝尔阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于芬岛，1829年4月6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书，15岁时优秀的数学教师洪堡（BerntMichaelHolmbo1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。数学分析丹麦数学家戴根（CarlFerdinandDegen1766-1825）看过这篇论文后，为阿贝尔的数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的研究，于是他给阿贝尔回信写到：“...与其着手解决被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就是很好的题目，相信你会取得成功...”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。数学分析阿贝尔18岁时，父亲去世了，这使生活变得更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但是高斯连信都未开封。1825年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（AugusteLeopoldCrelle1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。数学分析1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的研究工作。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。”数学分析可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师。由