机械结构有限元分析第三章习题

习题三3.1解释基本概念：位移插值函数、位移模式、单元刚度矩阵及其刚度系数、单元刚度矩阵的对称性和奇异性、结构刚度矩阵的集成、单元载荷向量、有限元解的收敛准则、位移解的下限性质。答：位移插值函数：建立以单元结点位移表示的单元内各点位移的表达式，选择一个简单的单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元结点位移通过插值而获得。位移模式：单元位移模式的一般表达式为{d(x,y)}=[f(x,y)]a单元刚度矩阵及其刚度系数:eekRδ=是表示单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程，k就是单元刚度矩阵DBtdxdyBkT∫∫=单元刚度矩阵的对称性和奇异性：对称性是指第j个单位位移分量引起的第i个结点力分量等于由第i个单位位移分量引起的第j个结点力分量。奇异性：指单元刚度矩阵不存在逆矩阵。结构刚度矩阵的集成：对N个经推广的单元刚度矩阵进行求和，叠加，得到结构整体刚度矩阵。有限元解的收敛准则：满足三个条件1、位移模式包含单元的刚体位移2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续，且在相邻单元之间的位移必须协调位移解的下限性质：对于一个给定的位移模式，其刚度系数是数值比精确值要大。所以在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因此细分单元网格，位移近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。3.11如图所示的平面三角形单元，厚度cmt1=，弹性模量MPaE5100.2×=泊松比3.0=µ。试求插值函数矩阵N,应变矩阵B,应力矩阵S，单元刚度矩阵eK，并验证eK的奇异性。解：因为1、2、3点的坐标为（2，2）、（10，2）、（2，6）可知道mymx2121102,102−−×=×=；mymx2222102,1010−−×=×=；mymx2323106,102−−×=×=；)(21)],([1ycxbaAyxfNiii++∆==−平面三角形单元的面积3262121012212==∆24233211056myxyxa−×=−=；myyb2321104−×−=−=；mxxc2231108−×−=−=；2431132108myxyxa−×−=−=；myyb2132104−×=−=；0312=−=xxc；24122131016myxyxa−×−=−=；0213=−=yyb；mxxc2123108−×=−=；可得位移形状函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−=++=+−=++=−−=++=yycxbaANxycxbaANyxycxbaAN4121)(218141)(21418147)(21333322221111又因为插值函数矩阵INN1[=IN2]3IN⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001I可得⎢⎣⎡=01NN10N02N20N03N⎥⎦⎤30N⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−+−−−=04121081410418147yxyxTyxyx⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤+−+−−−41210814104181470应变矩阵⎢⎢⎢⎣⎡∆=11021cbB110bc220cb220bc330cb⎥⎥⎥⎦⎤330bc⎢⎢⎢⎣⎡−−×=804103212480−−004400800⎥⎥⎥⎦⎤080⎢⎢⎢⎣⎡−−×=20110812120−−001100200⎥⎥⎥⎦⎤020又因为弹性矩阵⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=0112µµED01µ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤−2)1(00µ⎢⎢⎢⎣⎡−×=03.013.01100.2211013.0⎥⎥⎥⎦⎤35.000⎢⎢⎢⎣⎡×=03.0191.0100.211013.0⎥⎥⎥⎦⎤35.000所以得应力矩阵BDS⋅=⎢⎢⎢⎣⎡−−−×=9231.18242.07473.2100.1129615.04945.56484.1−−−08242.07473.29615.0009231.100⎥⎥⎥⎦⎤04945.56484.1单元刚度矩阵tASBKTe⋅⋅⋅=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−×=3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.191978.23846.01923.03297.03901.27143.0−−−−3297.0005495.03297.05495.0−−03846.01923.001923.03846.0−−07692.03846.003846.07692.0−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤−−1978.2003297.01978.23297.0因为0=eK，所以eK为奇异矩阵3.12求如图所示三角形单元的插值函数矩阵和应变矩阵。设mmu0.21=，mmv2.11=，mmu4.22=，mmv2.12=，mmu1.23=，mmv4.13=，弹性模量MPaE5100.2×=，泊松比3.0=µ，求单元内的应变和应力，并求出主应力及其方向。若单元在jm边作用有线性分布的面载荷（x方向），求结点载荷向量。(b)解：因为i、j、m点的坐标为（2，2）、（6，3）、（5，6）可知道mymxii33102,102−−×=×=；mymxjj33103,106−−×=×=；mymxmm33106,105−−×=×=；得261021myxyxajmmji−×=−=；myybmji3103−×−=−=；mxxcjmi3101−×−=−=；26102myxyxamiimj−×−=−=；myybimj3104−×=−=；mxxcmij3103−×−=−=；26106myxyxaijjim−×−=−=；myybjim3101−×−=−=；mxxcijm3104−×=−=；平面三角形单元的面积1112=∆mjixxx261013myyymji−×=位移形状函数)(21)],([1ycxbaAyxfNiii++∆==−可得位移形状函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+−−=++=−+−=++=−−=++=yxycxbaANyxycxbaANyxycxbaANmmmmjjjjiiii134000131000136)(21133000134000132)(211310001330001321)(21插值函数矩阵⎢⎣⎡=0iNNiN00jNjN00mN⎥⎦⎤mN0⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−+−−−=0134000131000136013300013400013201310001330001321yxyxyxTyxyxyx⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤+−−−+−−−1340001310001360133000134000132013100013300013210应变矩阵⎢⎢⎢⎣⎡∆=iicbB021iibc0jjcb0jjbc0mmcb0⎥⎥⎥⎦⎤mmbc0⎢⎢⎢⎣⎡−−×=103101313310−−304−430−401−⎥⎥⎥⎦⎤−140三角形单元的6个结点位移分量用列阵表示为}{{0.2100.1,,,,,3332211321−×==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Tevuvuvuδδδδ2.14.22.11.2}T4.1单元内任一点的应变列阵为{1154.0321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==δδδδεBBe0615.0}T0769.0−弹性矩阵⎢⎢⎢⎣⎡−=0112µµED01µ⎥⎥⎥⎦⎤−2/)1(00µ⎢⎢⎢⎣⎡×=03.0191.0100.211013.0⎥⎥⎥⎦⎤35.000单元内任一点的应力列阵为{9417.2100.110×==εσD1133.2}T5917.0−22minmax22xyyxyxτσσσσσσ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−±+=⎭⎬⎫()MPa⎩⎨⎧=−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−±+=7994.12286.35917.021133.29417.221133.29417.222yxxyσστα−−=22tan0()MPa4285.11133.29417.25917.02=−−×−=3.13二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面旋转180°时怎样？单元旋转后怎样？单元做上述变化时，应力矩阵S如何变化？答：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置单元刚度矩阵相同应力矩阵S不变；单元旋转后单元刚度矩阵应力矩阵S都变化。3.14如图所示的一个悬梁，载荷均匀分布在自由端截面上，采用图示简单网格，求各结点的位移.设31=µ，梁的厚度为t.解：结点编号1234单元号12X坐标0220相邻结点12Y坐标00112344平面三角形单元的面积1112=∆421xxx24212101021001myyy==对于单元1，三个结点对应的整体编码(i,j，m)=(1,2,4)myxyxa224421=−=；myyb1421−=−=；mxxc2241−=−=；041142=−=yxyxa；myyb1142=−=；0412=−=xxc；012214=−=yxyxa；0214=−=yyb；mxxc2124=−=；应变矩阵⎢⎢⎢⎣⎡∆=11)1(021cbB110bc220cb220bc440cb⎥⎥⎥⎦⎤440bc⎢⎢⎢⎣⎡−−=20121120−−001100200⎥⎥⎥⎦⎤020弹性矩阵⎢⎢⎢⎣⎡−=0112)1(µµED01µ⎥⎥⎥⎦⎤−2/)1(00µ⎢⎢⎢⎣⎡−=03/11)31(12E013/1⎥⎥⎥⎦⎤−2/)3/11(00⎢⎢⎢⎣⎡=08/38/9E08/98/3⎥⎥⎥⎦⎤8/300应力矩阵)1()1()1(BDS⋅=⎢⎢⎢⎣⎡−−−=3750.01875.05625.0E1875.01250.13750.0−−−01875.05625.01875.0003750.000⎥⎥⎥⎦⎤01250.13750.0单元刚度矩阵tASBKT⋅⋅⋅=)1()1()1(⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=1875.03750.01875.02813.03750.06563.0Et1250.11875.00938.01875.02188.13750.0−−−−1875.0002813.01875.02813.0−−01875.00938.000938.01875.0−−03750.01875.001875.03750.0−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤−−1250.1001875.01250.11875.0对于单元2，三个结点对应的整体编码(i,j,m)=(2,3,4)0432=−=yyb；mxxc2342−=−=；myyb1243=−=；2423=−=xxc；myyb1324−=−=；0234=−=xxc；平面三角形单元的面积1112=∆421xxx24212101021001myyy==应变矩阵⎢⎢⎢⎣⎡∆=22)2(021cbB220bc330cb330bc440cb⎥⎥⎥⎦⎤440bc⎢⎢⎢⎣⎡−=20021020−201120001−⎥⎥⎥⎦⎤−100弹性矩阵⎢⎢⎢⎣⎡−=0112)2(µµED01µ⎥⎥⎥⎦⎤−2/)1(00µ⎢⎢⎢⎣⎡=08/38/9E08/98/3⎥⎥⎥⎦⎤8/300应力矩阵)2()2()2(BDS⋅=⎢⎢⎢⎣⎡−=3750.000E01250.13750.0−−3750.01875.05625.01875.01250.13750.001875.05625.0−−⎥⎥⎥⎦⎤−1875.000单元刚度矩阵tASBKT⋅⋅⋅=)2()2()2(⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=1875.001875.03750.003750.0Et01875.01250.11875.01250.10−−1875.02813.03750.06563.01875.03750.0−−−−0938.01875.02188.13750.01250.11875.0−−−−02813.01875.02813.01875.00−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤−−0938.000938.01875.001875.0总刚度矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=1875.03750.0001875.02813.03750.06563.0EtK1250.11875.0000938.01875.02188.13750.0−−−−3750.001875.03750.006563.01875.02813.0−−−−03750.01250.11875.02188.1