概率论(ch1-5)自测练习答案

1概率论（ch1-5）自测练习答案1.掷一枚骰子6次，求所有的点数1、2、3、4、5、6都出现的概率。解：66!6p=5/3242.从5个白球3个红球中任取3个，求“取到2个白球1个红球”（事件A）的概率。解：等可能的基本事件数：56!367838Cn，事件A包含的基本事件数：303!2451325CCm，∴28155630)(nmAP3.袋中装有5个白球3个红球2个绿球，从中不放回地取3个，求第三个是红球的概率。解：3.0!10!93p4.将1、2、3、4进行排列，求所得的四位数小于2350的概率。解：等可能的基本事件数：n=4!=24；千位是1的四位数有3!=6个，千位是2的四位数有3!=6个，但2413、2431不小于2350；所求概率p=(6+4)/24=5/125.在半径为R的圆内任取一点，求这点与圆心的距离不超过)(Rrr的概率。解：p=r2/R26.7.0)(AP，3.0)(BAP，求)(ABP解：3.0)(7.0)()()(ABPABPAPBAP，4.0)(ABP，6.0)(ABP7.已知4/3)(BAP，6/5)|(ABP，8/5)|(BAP，求P(A)和P(B)。解：4/3)|()()()()(4/3)|()()()()(BAPBPBPAPBAPABPAPBPAPBAP，即4/3)8/5)(()()(4/3)6/5)(()()(BPBPAPAPBPAP解得P(A)=1/2，P(B)=2/38．9.0)(AP，8.0)(BP，6.0)|(ABP，求)|(BAP。解：由6.01.0)()()()|(ABPAPABPABP，有)(ABP=0.06，所以，)()()(ABPBPABP0.74，于是16.0)()()(ABPAPBAP，8.02.016.0)()()|(BPBAPBAP9．甲乙二人对同一目标各射击一次，已知甲命中的概率是0.9，乙命中的概率是0.8，求只有一人命中的概率。解：记甲命中为A，乙命中为B，则BA,独立。)(BABAP)()()()(BPAPBPAP26.08.01.02.09.010．设事件A、B相互独立，已知8.0)(5.0)(BAPAP，，求（1）()PAB（2）()PAB．解：由)()()()(ABPBPAPBAP8.0)()()()(BPAPBPAP得8.0)(5.0)(5.0BPBP，所以6.0)(BP.2（1）A、B相互独立，所以2.04.05.0)()()(BPAPBAP.（2）)(BAP)()()(BAPBPAP7.04.05.04.05.0.11．5台机器每台开动的概率为0.8，求至少有一台开动的概率。解：开动的机器台数)8.0,5(~bX，}1{XP99968.0)2.0(1}0{15XP12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”和“-”，发出信号“”时，分别以概率0.8和0.2收到“”和“-”；发出信号“-”时，分别以概率0.1和0.9收到“”和“-”。求（1）收到“”的概率；（2）收到“”时的确发出的是“”的概率。解：发出“”：记做事件A；则发出“-”：A；收到“”：记作事件B（1）)(BP)(BAABP=)|()()|()(ABPAPABPAP52.01.04.08.06.0（2）)()|()()()()|(BPABPAPBPABPBAP131252.08.06.013．电路由电池A与两个并联电池B、C串联而成。A、B、C损坏与否相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3、0.2、0.2。求电路发生间断的概率。解：A：电池A损坏；B：电池B损坏；C：电池C损坏则CBA,,独立，)()()()()(CPBPAPAPBCAAP328.02.02.07.03.0或)()()()(ABCPBCPAPBCAP)()()()()()(CPBPAPCPBPAP328.02.02.03.02.02.03.014．离散型随机变量有分布函数)3(1)32(9.0)20(6.0)01(2.0)1(0)(xxxxxxF，求（1）的分布列；（2）)5.21(P；（3）数学期望)(E；（4）方差D()解：（1）1.03.04.02.03201（2）)5.21(P=0.7；（3）)(E=0.7；（4）D()=2.3-0.49=1.8115（1）．随机变量X有分布密度12)(xxCexf，Rx，求常数C解：dxeCedxCedxxfxxx22)21(431)(1343212)21(4322121eCdxeeCx，所以，4/31eC15．（2）X的概率密度函数为)(0)10()(2其它xcxxfX。①求常数c；②求X的分布函数)(xF；③求常数m，使PXmPXm。解：①3/)(1102cdxcxdxxf，c=3；②)1(1)10()0(0)()(3xxxxdttfxFx；③0m1，30)(}{mdxxfmXPmX=1/2，（或P{Xm}=F(m)=m3=1/2），所以，32/1m。16.已知),(服从二维正态分布),,,,(222121N，求}2{}2{2211PP。解：}2{}2{2211PP=1}2{}2{2211PP17．321,,XXX独立，)2,1(~1NX，)3,0(~2NX，)1,2(~3NX，求}6320{321XXXP。解：)6,0(~322321NXXX，所以，3413.02/6826.0p18．的分布密度)(0)21(2)10()(其它xxxxxf，求（1）E；（2）D。解：（1）E1)2()(10212dxxxdxxdxxxf；（2）2E67)2()(1021232dxxxdxxdxxfx，D61)(22EE19．设随机变量,独立。),(的联合分布及关于和关于的边缘分布的部分数值在下面列出。将其它数值填入空白处。解：1y2y3y.}{iipxP1x912x31jjpyP.}{2141y2y3y.}{iipxP1x1/6911/181/32x312/91/92/3jjpyP.}{211/31/6120．已知随机变量和的概率分布分别为4/12/14/1101~，2/12/110~，且01P，（1）求和的联合分布；（2）和是否独立？为什么？解：01P，所以00P，从而有1,11,10PP，于是和的联合分布有如下的结构：-101.jp011p12p13p1/21022p01/2.ip1/41/21/41从而得和的联合分布为-101.jp011/401/401/201/21/2.ip1/41/21/41（2）由1,10P，而02141)1()1(PP，故不独立。21.离散型随机变量,独立，有分布律3/16/12/1201，有分布律3/23/141。5（1）求),(的联合分布列；（2）求的分布律及的分布律；（3）求}1,1{P；（4）判断与是否独立。解：（1）14-11/61/301/181/921/92/9（2）9/29/19/418/16/164310~，9/118/118/79/13/111245~（3）18/1}1,0{}1,1{PP（4）}1,1{P}1{}1{PP，所以、不独立。22．),(有联合分布12311/61/91/1821/3求,取何值时,独立。解：123P11/61/91/181/321/32/3P1/2ab1由,独立有}2{}1{}2,1{PPPa3191，解得a=1/3，所以，9232a；又由31，得91。解法二：123P11/61/91/181/321/32/3P1/21/9+1/18+1由,独立有}2{}1{}2,1{PPP6)91(3191，解得92；又由31，得91。经验证：92，91时，)()(),(jPiPjiP，3,2,1;2,1ji，,独立。23．,都有分布律2/12/121（1）,独立，求的分布，（2）求2的分布；并思考：,同分布时，是否一定有。解：（1）4/1}1{}1{}1,1{}2{PPPP2/14/14/1}1,2{}2,1{}3{PPP4/1}2{}2{}2,2{}4{PPPP即4/12/14/1432~（2）2/12/142~2，,同分布时，不一定有=2。或者说：,同分布时，不一定有。24．区域B由x轴、y轴及直线12xy围成，),(在区域B上均匀分布，求),(的联合分布密度及边缘概率密度)(xf及)(yf。解：),(的联合分布密度：或)(0)12002/1(4),(其它且xyxyxfdyyxfxf),()()021(0)021(4120xxxdyx或)021(0)021()12(4xxxx或，dxyxfyf),()()10(0)10(4021yyydxy或)10(0)10()1(2yyyy或25．（1）已知有分布密度)(0)10(2)(其它xxx，求2的分布密度。7解：2的分布函数)()()(2xPxPxF，①当0x时，0)(xF；②当1x时，)()(xxPxF1)()(10dttdttxx③当10x时，)()(xxPxFxdttdttdttxxxx002)()()1()10()0(10)(xxxxxF，的分布密度)0(0)10(1)(xxxf。25．（2）已知X的概率密度函数||1()2xXfxe，求3YX的概率密度函数)(yfY。解：Y的分布函数FY(y)=P(Y≤y)=P(3X≤y)=P(X≤y/3)=FX(y/3)所以，Y的分布密度fY(y)=fX(y/3)·(1/3)=(1/2)e-|y/3|·(1/3)=(1/6)e-|y/3|方法二：y=3x=g(x),g’(x)=30,且g(x)有反函数：x=h(y)=y/3，所以，Y的分布密度：fY(y)=fX(h(y))·|h’(y)|=fX(y/3)·(1/3)=(1/2)e-|y/3|·(1/3)=(1/6)e-|y/3|26．若),,,,(~),(2221212