第三章线性控制系统的能控性和能观测性

第三章线性控制系统的能控性和能观测性能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念，由Kalman于1960年提出。主要内容„3.1线性连续系统的能控性„3.2线性连续系统的能观测性„3.3对偶原理„3.4线性定常离散系统的能控和能观测性„3.5线性系统的能控和能观测标准型„3.6线性系统的结构分解„3.7传函矩阵与能控和能观测性的关系3.1能控性线性定常系统能控性定义线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。线性时变系统能控性定义对连续时间线性时变系统=A(t)x+B(t)u,tx&∈J(时间定义区间)如果存在一个时刻t1∈J,t1t0以及一个无约束的容许控制u(t)t∈[t0,t1]，使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态x0在t0时刻为能控。定义：对连续时间线性时变系统=A(t)x+B(t)u,tx&∈J和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控，称系统在时刻t0为完全能控。连续时间线性时变系统的能控性判据1格拉姆判据：对连续时间线性时变系统=A(t)x+B(t)u在tx&0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵τττττdtΦBBtΦttWTTttc),()()(),(),(001010∫=为非奇异矩阵。证明：充分性为非奇异时，系统能控),(10ttWcττττduBtΦtxttΦtxtt)()(),()(),()(1001110∫+=由非奇异，则存在，可构造输入),(10ttWc),(101ttWc−)(),(),()()(01010txttWttΦtBtucTT−−=，则010100010011),(),()()(),(),()(),()(10xttWdtΦBBtΦttΦtxttΦtxcTTtt−×−=∫τττττ0),(),(),(),(01011001001=−=−xttWttWttΦxttΦcc必要性即系统能控⇒非奇异。),(10ttWc反证法设奇异，则存在非零状态向量，使得),(10ttWc0x0)(),(0)](),()[(),(),()()(),(),(,0),(0),(0000000000010001000101010=⇒===⇒=∫∫ττττττττττττBtΦxdBtΦxBtΦxdxtΦBBtΦxxttWxxttWxxttWTTTttTTTttTcTcTc而由系统Σ能控，故存在t1t0，使得x(t1)=0，即0)()(),()()(),()()(),(),()(0)()(),()(),()(00000101101001110101010=−=⇒−=−=⇒=+=∫∫∫∫−ττττττττττττττττduBtΦxxxduBtΦduBtΦttΦtxduBtΦtxttΦtxttTTtttttt这与已知非零矛盾，反证假设不成立。0x连续时间线性时不变系统：0)0(0≥=+=txxBuAxx完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵∫−−Δ=101],0[ttAAtcdtBBeetWT为非奇异。2秩判据连续时间线性时不变系统：0)0(0≥=+=txxBuAxx完全能控的充分必要条件是[]nBAABBrankSrankn==−1)(S为能控判别阵证明充分性，已知rank(S)=n⇒系统完全能控。反设系统不完全能控，则格拉姆矩阵),(10ttWc奇异，故∃α≠0，使()dteBeBdteBBetWttATTtATttATAtTcTTTT∫∫−−−−===11001],0[0αααααα],0[,01ttBeAtT∈∀=⇒−α上式对t求直到n−1次导数，并令t=0，有],0[,01ttBeAtT∈∀=−α0,,0,01===⇒−BAABBnTTTααα0],,,[1==⇒−SBAABBTnTαα这与rankS=n，即S行线性无关矛盾，故系统完全能控，充分性得证。必要性,已知系统完全能控⇒rankS=n。反证，假设rank(S)n,存在α≠0，使0],,,[1==−BAABBSnTTαα0,,0,01===⇒−BAABBnTTTααα于是，对任意t10，可得到,2,1,0],,0[,0!11=∈∀=±ittBtAiiiTαBeBtAtAAtIAtTT−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−=⇒αα3322!31!210αααα],0[0101tWdteBBecTttATAtTT==⇒∫−−这表明Gram矩阵),0(1tWc非奇异，即系统不完全能控。与已知矛盾，反设不成立，必有rankS=n。例判断如下系统的能控性uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111112310020231解：系统的能控性矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−==4444452222231111122BAABBUc32rank==⇒nUc故系统不能控。3PBH(Popov，Belevitch，Hautus)判据线性时不变系统完全能控的充分必要条件是[]C∈∀=−snBAsI,rank[])(,AnBAIiiσλλ∈=−⇔rank证明必要性，已知系统完全能控,反证法，假设[]nBAIAii−∈∃λσλrank),(则∃α≠0，使[]0,0==⇔=−BABAITTiTiTααλαλα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⇒−−00021BABABABBnTinTTiTTαλααλαα[]01=⇒−BAABBnTα即rankSn，与系统完全能控矛盾。充分性，已知rank[λiI−A，B]=n，证系统完全能控。反证法，假设系统不完全能控，对进行能控分解：hhccccABPBBAAAPAPA×−∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==R,0,0121设()ciAσλ∈对应右特征向量hncq−∈R构造n维向量ncTqPqR∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0则有[][][][]TiTcicTcccTcTcTcTqPqPAqPAAAPPqAqBPPqBqλλ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=−−00000001211[][]nBAIBAIqiiT−⇔=−⇒λλrank0这与已知矛盾，反设不成立，系统能控。4PBH特征向量判据矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足0,==BATTiTααλα的右特征向量0=α5标准型能控性判据由PBH，可建立如下标准型能控性判据1）若系统矩阵A为对角型，则系统能控的充要条件是，输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。2）若系统矩阵A为约当型，则系统能控的充要条件是™输入矩阵B对应互异特征值的各行，没有一行的元素全为零；™输入矩阵B对应相同特征值的各约当小块的最后一行线性无关。例uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=3012001000300133uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=012200010003uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=030024200040014uxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=210400040014uxx⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=003330021000400020001000522012111011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=4000200011B⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3300212B能控性指数（P57）对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为p，设rankB=r，则能控性指数满足1+−≤≤rnpnμ注意[1]时变系统能控性与初始时刻t0有关，定常系统能控性与初始时刻t0无关。[2]定常系统可取初始时刻t0=0，终端状态x(t1)=0。[3]若设x(t0)=0，而终端状态x(t1)任意，若存在无约束信号u(t)，在有限时间t1t0内，能将零状态x(t0)=0转移到任意终端状态x(t1)，则称系统状态能达。对定常系统能控等价于能达，时变系统两者不同。[4]讨论能控性问题时，输入信号理论上是无约束的。3.2能观性考虑线性时变系统⎩⎨⎧=+=xtCyutBxtAx)()()(定义若系统在任意一个初始时刻t0的状态变量x(t0)，在t1t0时，可由系统的输出变量y(t)唯一地确定，则称系统在t0时刻是完全能观测的，简称t0时刻能观测；否则，系统为不完全能观测，简称不能观测。连续时间线性（定常）系统的能观性判据1格拉姆判据线性时变系统Σ[A(t),C(t)]在t0时刻完全能观测的充要条件是，存在t1t0，使得格拉姆矩阵τττττdtCCtttWttTTfo∫ΦΦ=10),()()(),(:),(000为非奇异矩阵。证明：充分性，即),(10ttWO非奇异⇒系统Σ能观测。系统能观测与输入u(t)无关，故讨论能观测可不考虑输入的影响。根据齐次状态转移方程，有)(),()()()()(),(),()(0000txtttCtxtCtytxtttxΦ==Φ=)(),()(),()()(),()()(),(01000001010txttWdtxtCCtdyCtottTTttTT=ΦΦ=Φ⇒∫∫τττττττττ由),(10ttWO非奇异，有ττττΦ=∫−dyCtttWtxfttTTfo0)()(),(),()(0010充分性得证。必要性，已知系统完全能观⇒),(10ttWO奇异反证法，假设),(10ttWO奇异，则存在非零的x(t0)，使0)(),(00=txttWfo0)(),()()(),()()(),()()()(000000000==ττΦτττΦ=τττ⇒∫∫txttWtxdtxtCCttxdyyfoTttTTTttTff],[,0)(0ftty∈τ=τ⇒由此x(t0)不能由y(t)测量，与已知系统能观测矛盾，),(10ttWO非奇异。必要性得证。连续时间线性时不变系统0)0(0≥=+=txxBuAxx完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使格拉姆矩阵∫Δ=1010],0[tAtTtAdtCeCetWT为非奇异。2秩判据连续时间线性时不变系统：0)0(0≥=+=txxBuAxx完全能观的充分必要条件是nCACACrankrankVn=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−13PBH秩判据n维连续时间线性时定常系统完全能观测的充分必要条件为：CSnCASIrank∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−或ninCAIrankλλλλ…,,,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−为系统特征值4PBH特征向量判据n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵A不存在与C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵A所有特征值，使同时满足0,==ααλαCAi的右特征向量0=α5标准型能观性判据由PBH，可建立如下标准型能观性判据1）若系统矩阵A为对角型，则系统能观的充要条件是，输出矩阵C没有任何一列的元素全部为零。2）若系统矩阵A为约当型，则系统能控的充要条件是™1)输出矩阵C对应互异特征值的各列，没有一列的元素全为零；™2)输出矩阵C对应相同特征值的各若当小块的第一列线性无关。能观性指数（P65）对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为n，输入维数为q，设rankC=m，则1+−≤≤mnqnυ例判断如下系统的能观测性（1）[]xyxx315002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=3（2）xyxx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=100001130133（3）考虑如下系统xyxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000000003010003001212122122xyxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010000030100030012121221223.3对偶原理对偶原理是现代控制理论中的重要概念，利用该概念，可以将系统能控性分析的结果，转化到能观测