线性规划lingo实现示例

加工奶制品的生产计划问题品加工厂用牛奶生产1A，2A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A。根据市场需求，生产的1A，2A全部能售出，且每公斤1A获利24元，每公斤2A获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤1A的获利增加到30元，应否改变生产计划？问题分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A，用多少桶牛奶生产2A，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。基本模型决策变量：设每天用1x桶牛奶生产1A，用2x桶牛奶生产2A。目标函数：设每天获利Z元。1x桶牛奶可生产31x公斤1A，获利1324x，2x桶牛奶可生产42x公斤2A，获利2416x，故Z=216472xx.约束条件原料供应：生产1A，2A的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x+2x50桶；劳动时间：生产1A，2A的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x+82x480小时；设备能力：1A的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x100；非负：1x，2x均不能为负值，即1x0，2x0。综上可得MaxZ=216472xx(1)s.t.1x+2x50(2)121x+82x480(3)31x100；(4)1x0，2x0(5)这就是该问题的基本模型。由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（LinearProgramming,简记作LP）.模型分析与假设1）1A，2A两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A，2A的数量和所需时间是与它们各自产量无关的常数；2）1A，2A每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A，2A的数量和所需的时间是与它们相互产量无关的常数；3）加工1A，2A的牛奶的桶数可以是任意实数。软件实现求解线性规划有不少现成的数学软件，比如用LINDO软件就可以很方便的实现。在LINDO6.1版本下打开一个新文件，像书写模型（1）—（5）一样，直接输入：max72x1+64x2st2)x1+x2503)12x1+8x24804)3x1100end注：LINDO中已经规定所有的决策变量均为非负，故（5）式不必输入；乘号省略，式中不能有括号，右端不能有数学符号；模型中符号，，用=,=形式输入，它们与,等效；输入文件中第一行为目标函数，2），3），4）是为了标示个约束条件，便于从输出结果中查找相应信息；程序最后以end结束。将文件存储并命名后，选择菜单“solve”并对提示“DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?”(灵敏性分析)回答“是”，即可得到如下输出：LPOPTIMUMFOUNDATSTEP2OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000上面结果的第3，5，6行明确告诉我们，这个线性规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为Z=3360，即用20桶牛奶生产1A，30桶牛奶生产2A，可获最大利润3360元。结果分析上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。（1）3个约束条件的右下端不妨看作3种“资源”：原料、劳动时间、设备甲的加工能力。输出第7~10行“SLACKORSURPLUS”给出这3种资源在最优解下是否有剩余：2）原料，3）劳动时间的剩余均为零，4）设备甲尚余40公斤加工能力。一般称“资源”剩余为零的约束称为紧约束。（2）目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。输出第7~10行“DUALPRICE”给出这3种资源在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量：2）原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48元，3）劳动时间增加一个单位（1小时）时利润增加2元，而增加非紧约束4）设备甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，设备甲的影子价格为零。可以用直接求解的方法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束2）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48元。用影子价格很容易回答附加问题1）：用35元可以买一桶牛奶，低于1桶牛奶的影子，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。（3）目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单的回答。上面输出的第13~17行“CURRENTCOEF”的“ALLOWABLEINCREASE”和“ALLOWABLEDECREASE”给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24），即（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8），即（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤1A的获利增加到30元，则x1的系数变为303=90，在允许范围内，所以不应该改变生产计划。（4）对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。上面输出的第18~23行“CURRENTRHS”的“ALLOWABLEINCREASE”和“ALLOWABLEDECREASE”给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：2）原料最多增加10桶牛奶，3）劳动时间最多增加53小时。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便指出，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53小时。