2018课标版理数一轮(3)第三章-导数及其应用(含答案)2 第二节 导数与函数的单调性

教材研读考点突破栏目索引理数课标版第二节导数与函数的单调性教材研读考点突破栏目索引函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f'(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内①单调递增;(2)若f'(x)0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内②单调递减;(3)若f'(x)=0在该区间内恒成立,则f(x)在这个区间内是③常数函数.教材研读教材研读考点突破栏目索引 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f'(x)0. (×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性. (√)(3)在(a,b)内f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数. (√)教材研读考点突破栏目索引1.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是 ()A.先增后减B.先减后增C.单调递增D.单调递减答案D∵在(0,π)上,f'(x)=-sinx-10,∴f(x)在(0,π)上单调递减,故选D.教材研读考点突破栏目索引2.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x- sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ()A.[-1,1]B. C. D. 1311,311,3311,3答案Cf'(x)=1- cos2x+acosx=1- (2cos2x-1)+acosx=- cos2x+acosx+ ,f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,则t∈[-1,1],则- t2+at+ ≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则 解得- ≤a≤ ,故选C.232343534353(1)4350,(1)4350,gaga1313教材研读考点突破栏目索引3.函数y= x2-lnx的单调递减区间为.答案(0,1]解析由题意知函数的定义域为(0,+∞),由y'=x- ≤0(x0),解得0x≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].121x4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是.答案3解析f'(x)=3x2-a,由题意知在[1,+∞)上,f'(x)≥0,即a≤3x2,又x∈[1,+∞)时,3x2≥3,∴a≤3,即a的最大值是3.教材研读考点突破栏目索引考点一利用导数判断或证明函数的单调性典例1(2016课标全国Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性.解析f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(ii)设a0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=- ,则f'(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.e2考点突破教材研读考点突破栏目索引②若a- ,则ln(-2a)1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f'(x)0;当x∈(ln(-2a),1)时,f'(x)0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.e2③若a- ,则ln(-2a)1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f'(x)0;当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.e2教材研读考点突破栏目索引方法技巧用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤①求f'(x).②确定f'(x)在(a,b)内的符号.③作出结论,依据是f'(x)0时为增函数;f'(x)0时为减函数.[提醒]研究含参数的函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.1-1(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=- 处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.43教材研读考点突破栏目索引解析(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=- 处取得极值,所以f' =0,即3a· +2× = - =0,解得a= .(2)由(1)得g(x)= ex,故g'(x)= ex+ ex= ex= x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x-4时,g‘(x)0,故g(x)为减函数;当-4x-1时,g'(x)0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g'(x)0,故g(x)为减函数;当x0时,g'(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.434316943163a83123212xx2322xx3212xx3215222xxx12教材研读考点突破栏目索引考点一利用导数求函数的单调区间典例2(2016天津,20,14分)设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.求f(x)的单调区间.解析由f(x)=x3-ax-b,可得f'(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:(i)当a≤0时,有f'(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).(ii)当a0时,令f'(x)=0,解得x= ,或x=- .当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:33a33a教材研读考点突破栏目索引x -    f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增3a,33a33a3a,333a33a,3所以f(x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , .33,33aa3,3a3,3a教材研读考点突破栏目索引方法技巧利用导数求函数的单调区间的两个方法方法一:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y'=f'(x);(3)解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f'(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.[提醒]写单调区间时,同增(减)区间不能用“∪”连接.方法二:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y'=f'(x),令f'(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切根;教材研读考点突破栏目索引(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;(4)确定f'(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个区间内的单调性.2-1已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.教材研读考点突破栏目索引解析(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1).即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x).当a2=4b,即b= a2时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+ a2.令h'(x)=0,得x1=- ,x2=- .∵a0,∴h(x)与h'(x)的情况如下:1414142a6a教材研读考点突破栏目索引x -∞,-  -  - ,-  -  - ,+∞ h'(x)+0-0+h(x)↗↘↗a2a2a2a6a6a6∴函数h(x)的单调递增区间为 和 ;单调递减区间为 .,2a,6a,26aa教材研读考点突破栏目索引考点三利用导数解决函数单调性的应用问题典例3(2017郑州二中月考)设函数f(x)= x3- x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)求b,c的值;(2)若a0,求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.解析(1)f'(x)=x2-ax+b.由题意得 即 (2)由(1)得f'(x)=x2-ax=x(x-a),结合a0知:当x∈(-∞,0)时,f'(x)0;132a(0)1,'(0)0,ff1,0.cb教材研读考点突破栏目索引当x∈(0,a)时,f'(x)0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a).(3)g'(x)=x2-ax+2,依题意,存在x∈(-2,-1),使不等式g'(x)=x2-ax+20成立,即x∈(-2,-1)时,a =-2 ,当且仅当x= ,即x=- 时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(-∞,-2 ).max2xx22x22教材研读考点突破栏目索引方法技巧利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路(1)由可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,进而列出不等式.(2)利用分离参数法求解恒成立问题.(3)对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点(有限点)处有f'(x)=0,则参数可取这个值.教材研读考点突破栏目索引变式3-1在本例(3)中,若g(x)在(-2,-1)内为减函数,如何求解?解析∵g'(x)=x2-ax+2,且g(x)在(-2,-1)内为减函数,∴g'(x)≤0,即x2-ax+2≤0在(-2,-1)内恒成立,∴ 即 解之得a≤-3.'(2)0,'(1)0,gg4220,120,aa教材研读考点突破栏目索引3-2(2016德州模拟)函数f(x)= x3-x2+ax-5在区间[-1,2]上不单调,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,-3]B.(-3,1)C.[1,+∞)D.(-∞,-3]∪[1,+∞)答案B因为f(x)= x3-x2+ax-5,1313所以f'(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,如果函数f(x)= x3-x2+ax-5在区间[-1,2]上单调,那么a-1≥0或 解得a≥1或a≤-3,于是满足条件的a∈(-3,1).13'(1)0,'(2)0,ff