二面角大小的几种求法(归类总结分析)

1二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。1.在三棱锥P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。2.如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.2三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法.ABCNMPQA图3PBl2最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？点金P43例23如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=2，A1B=3，A1E=22，A1F=23，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63.与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.4．如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1BC的中点为O，且AO平面11BBCC．(1)证明：1BCAB；(2)若1ACAB，o160CBB，1BC，试画出二面角1ABCB的平面角，并求它的余弦值．3垂面法事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.图4B1AA1BlE35空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.寻找无棱二面角的平面角的方法(射影面积法、平移或延长(展)线(面)法)四、射影面积法：利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。6在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。7.如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。lABCDPAHMD1C1B1A1BCDP图5lCBA4二面角作业1．二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有（）A1条或2条交线B2条或3条交线C仅2条交线D1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是()A5B20C210D2254．在直二面角α-l-β中，RtΔABC在平面α内，斜边BC在棱l上，若AB与面β所成的角为600，则AC与平面β所成的角为（）A300B450C600D12005．如图，射线BD、BA、BC两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26，则弧度数为3的二面角是（）A.D-AC-BB.A-CD-BC.A-BC-DD.A-BD-C6．△ABC在平面α的射影是△A1B1C1，如果△ABC所在平面和平面α成θ角，有()A.S△A1B1C1=S△ABC·sinθB.S△A1B1C1=S△ABC·cosθC.S△ABC=S△A1B1C1·sinθD.S△ABC=S△A1B1C1·cosθ7．如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB⊥l，B为垂足，A为l上一点，且∠PAB=α，PA与平面M所成角为β，二面角M-l-N的大小为γ，则有（）Asinα=sinβsinγBsinβ=sinαsinγCsinγ=sinαsinβD以上都不对8．在600的二面角的棱上有两点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD=。9．已知△ABC和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，ABα，且平面ABC与α所成角为300，则点C到平面α的距离为。10．正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面A1BCD1所成的二面角（锐角）为。ABCDABMNPl511．已知菱形的一个内角是600，边长为a，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为。12．如图，△ABC在平面α内的射影为△ABC1，若∠ABC1=θ，BC1=a，且平面ABC与平面α所成的角为ψ，求点C到平面α的距离13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC，它与棱AB成450角，AC与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和a2，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是。15．把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是。16．如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成600的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。17．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；（2）二面角C1—BD—C的正切值。18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。αABC1CAFEBDCABCDA1D1C1B1619.ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小。20.第8题的变式：如上图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.21.如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体，侧棱AA1长为1，底面为正方体且边长为2，E是棱BC的中点，求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值。22.如图，BDAC,，α与β所成的角为600，lAC于C，lBD于B，AC＝3，BD＝4，CD＝2，求A、B两点间的距离。AlDCαβB723.四川19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，12ABACAA，120BAC，1,DD分别是线段11,BCBC的中点，P是线段AD的中点．（Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面1ABC平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面11ADDA；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角1AAMN的余弦24.全国19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,PABCDABCBADBCADPABPAD中，，与都是等边三角形.（I）证明：;PBCD（II）求二面角.APDC的大小D1DCBA1B1C1AP