导数在研究函数中的应用(学案学生版)

第1页共22页导数在研究函数中的应用【典型例题---夯实基础】（一）函数的单调性例1．已知函数32()1fxxaxx，aR．（Ⅰ）讨论函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设函数()fx在区间2133，内是减函数，求a的取值范围．变式1:变式2:第2页共22页变式3:变式4:例2.第3页共22页例3.例4.（二）函数的图像与极值例1.例2.第4页共22页例3.已知函数4322411()(0)43fxxaxaxaa（1）求函数()yfx的单调区间；（2）若函数()yfx的图像与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．例4.第5页共22页例5.(2011安徽)设()1xefxax，其中a为正实数（Ⅰ）当a43时，求()fx的极值点；（Ⅱ）若()fx为R上的单调函数，求a的取值范围。（三）函数的最值例1.例2.（2008浙江理）已知a是实数，函数()()fxxxa。（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）设)(ag为()fx在区间2,0上的最小值。（i）写出)(ag的表达式；（ii）求a的取值范围，使得2)(6ag。第6页共22页例3.设axxxxf22131)(23.（1）若)(xf在),32(上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当20a时，)(xf在]4,1[上的最小值为316，求)(xf在该区间上的最大值.第7页共22页【高考真题---能力提升】专题一：导数与函数的单调性、极值、最值例1、已知函数42()32(31)4fxaxaxx（I）当16a时，求()fx的极值;（II）若()fx在1,1上是增函数，求a的取值范围例2.已知函数f(x)=21x2－ax+(a－1)lnx，1a。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有1212()()1fxfxxx。第8页共22页例3.已知函数1()ln1afxxaxx()aR.(Ⅰ)当12a时，讨论()fx的单调性；（Ⅱ）设2()24.gxxbx当14a时，若对任意1(0,2)x，存在21,2x，使12()()fxgx，求实数b取值范围.例4.设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2alnx＋1.第9页共22页例5.设函数2()ln()fxxax（I）若当1x时，()fx取得极值，求a的值，并讨论()fx的单调性；（II）若()fx存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于eln2．例6.已知函数32()fxxbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若()fx在xt处取得极小值，记此极小值为()gt，求()gt值域。第10页共22页例7.设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224Infx例8.已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．解：例9.设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．第11页共22页例10.[2014·山东]设函数f(x)＝exx2－k2x＋lnx(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围．专题二：导数与函数的图像及切线问题例1.已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa第12页共22页例2.已知3x是函数2ln110fxaxxx的一个极值点。（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求函数fx的单调区间；（Ⅲ）若直线yb与函数yfx的图象有3个交点，求b的取值范围。例3.已知函数2()8,()6ln.fxxxgxxm（I）求()fx在区间,1tt上的最大值();ht（II）是否存在实数,m使得()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。第13页共22页例4.已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点。（I）证明：275c；（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2aa上单调递减，求a的取值范围。例5．已知函数0xbxaxxf，其中Rba,.（Ⅰ）若曲线xfy在点2,2fP处的切线方程为13xy，求函数xf的解析式；（Ⅱ）讨论函数xf的单调性；（Ⅲ）若对于任意的2,21a，不等式10xf在1,41上恒成立，求b的取值范围.第14页共22页专题三：参数范围问题例1.例2.例3.设函数()eexxfx．（Ⅰ）证明：()fx的导数()2fx≥；（Ⅱ）若对所有0x≥都有()fxax≥，求a的取值范围．第15页共22页例4.例5.设函数1()(01)lnfxxxxx且（Ⅰ）求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）已知12axx对任意(0,1)x成立，求实数a的取值范围。例6.已知函数f(x)=ln2(1+x)-21xx.（Ⅰ）求函数()fx的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)nen对任意的N*n都成立，求的最大值.第16页共22页例7.(2008全国Ⅱ卷文)设aR，函数233)(xaxxf．（Ⅰ）若2x是函数)(xfy的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]gxfxfxx，，，在0x处取得最大值，求a的取值范围．第17页共22页例9.例10.已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈0，π2.(1)求证：f(x)≤0；(2)若asinxxb对x∈0，π2恒成立，求a的最大值与b的最小值．第18页共22页例11.已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2xx＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．第19页共22页专题四：不等式的证明例1.（08山东）例2.（2011全国文）例3.已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a．设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）．第20页共22页例4.设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．（Ⅰ）当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()fx的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．第21页共22页例5.（07辽宁理）已知函数2222()2()21tfxxtxxxt，1()()2gxfx．（I）证明：当22t时，()gx在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[]ab，，试说明存在实数k，当tk时，()gx在闭区间[]ab，上是减函数；（III）证明：3()2fx≥．第22页共22页例6.已知函数ln()xxkfxe（k为常数，2.71828e是自然对数的底数），曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求()fx的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()gxxxfx,其中'()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1xgxe.例7.（03全国）