圆的定义及对称性

1第三十二讲圆的定义与圆的对称性【知识要点】1、圆的定义有以下两种（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”.说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.(2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上2、点和圆的位置关系点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr3、圆的旋转不变性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质)圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质)圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条4、与圆有关的概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧2(3）圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧不一定是等弧(4）顶点在圆心的角叫做圆心角；从圆心到弦的距离叫做弦心距5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧如图所示，∵CD是直径,CD⊥AB∴AE=BE,AC=BC,AD=BD若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧提示：（1）对于一个圆和一条直线来说，如果以①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论（2）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有222()2ard根据此公式，在,,ard三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2）注意理解“所对应”的含义【典型例题】ABOC2aArAdAABCDOE3例1、下列语句中不正确的是（）①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一顶点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧A.①③④B.②③C.②④D.①④例2、由一已知点P到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为()A、2或3B、3C、4D、2或4例3、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是例4、在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM是AB边上的中线，以点C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有.例5、在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB,OE⊥AC垂足分别为D、E，若AC=2cm，则⊙O的半径为cm例6、如下图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，那么E、F、G、H是否在同一个圆上？例7、如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.yxPOCDAB例8、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km的某处B，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证EGBACDFHO4明.例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离.例11、在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm，求油的最大深度【经典练习】1．下列命题中错误的命题有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）梯形的对角线互相平分；（4）圆的对称轴是直径．A．1个B．2个C．3个D．4个2.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心,6为半径的圆的_______.AOEFB53.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长()A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm4．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是_______，最长的弦长_______．5．如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是_______．BAPO(1)(2)6．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=___cm．7．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．8．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2B．5：2C．5：2D．5：4BACDOBACEDO(3)(4)9．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．AE=BED．BDBC610．如图，在以O为圆心的两个同心圆的圆中，大圆弦AB交小圆于C、D两点，试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．BACDO11．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．BACDOM