人教版数学八年级下册第十八章-平行四边形性质与判定-专题复习辅导讲义

辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T平行四边形的概念、性质T平行四边形的判定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．知识点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46cm，且AB－BC＝3cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46am，因此AB＋BC＝23cm，而AB－BC＝3cm，得AB＝13cm，BC＝10cm，∴CD＝13am．AD＝10cm．题后反思：注意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF∴AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（B）图3A.6B.12C.18D.不确定分析：本题主要考查平行四边形的性质:对角线互相平分。再由OE⊥BD，根据垂直平分线的性质得DE=BE,△BCE的周长=BE+BC+EC=CD+BC=6，平行四边形ABCD的周长就为12.例2：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB的周长为15，则CD＝______．解：因为：三角形ABO的周长为15，AB=6，所以：AO+BO=15--6=9，因为：四边形ABCD是平行四边形，所以：AC=2AO，BD=2BO，所以：AC+BD=2AO+2BO=2（AO+BO）=2×9=18题型3：平行四边形的面积例1：如图4，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD的面积．图4分析：要求四边形ABCD的面积，就要找到其与OBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特殊四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用“等底等高的两三角形面积相等”，问题得解．解：因为AB∥CD，且OB＝OD，据“等底等高的两三角形面积相等”可得：四边形ABCD为平行四边形．利用平行四边形的性质，可得四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝4．题后反思：“等底等高的两三角形面积相等”在平行四边形中也有很多不经意的好用处．例2：在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为()A．2B．53C．35D．15图5分析：可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=15s△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=13BC=b，B2C边上的高是45•5y=4y．则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=215s．同理△D2C4D与△A4BB2的面积是15s．解得S=53．故选C．题后反思：考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．例3：已知：如图6，在ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△AEF的面积为2cm2，求ABCD的面积．图6解：由△AEF的面积为2，先以AB为底看，设Q为BF中点，则△FQE的面积=△AEF的面积（底相等，高也相等），同理，△QBE的面积=△AEF的面积=2，则△AEB的面积为6；再以AC为底看△ABC，EC=13AC，AE=23AC，则△EBC的面积=△ABE的面积的一半=3，则△ABC的面积=9,平行四边形ABCD的面积=18三、课堂达标检测1.如图，ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．2.如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．3.如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．4.如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．5.如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．6.已知：如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．7.如图，ABCD中，∠B=60°，AB=6，则BC边上的高等于________．(第7题)(第8题)8.如图，在ABCD中，∠A的平分线交BC于点E．若AB=3，AD=8，则EC=_______．9.如图，已知的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．10.如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？11.公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．12.已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．13.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。求证：△AEH≌△CGF。【能力提升】1．如图，在ABCD中EF分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF,他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H,则图中的全等三角形有（）A、2对B、3对C、4对D、5对2．在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）A．1：2B．1：3C．2：3D．2：53.如图,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是.4．一题多变，培养应变能力已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE=OF．（图1）（图2）（图3）（图4）变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？（图2、图3）变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H（如图4），你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？5.如图12-57，在△ABC中，点M，N在AB上，AM=BN，ME∥BC交AC于E，MG∥AC交BC于G，NH∥AC交BC于H,求证：AC=NH+MG。ABCDOEFABCDOEFABCDOEFGHABCDOEFGH6.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论。一、同步知识梳理知识点3：平行四边的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）边两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）对角线：对角形互相平行的四边形是平行四边形二、同步题型分析题型1：平行四边形的判定例1：如图7所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）图7A.7个B.8个C.9个D.11个解析：本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线把平行四边形ABCD分成8个（不含原来）四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义，∵EF∥AB，HG∥AD，它们的各边都平行．即有□ABCD，□DEOH，□HOFC，□AGOE，□GOFB，□AGHD，□GBCH，□ABFE，□EFCD．答案C题后反思：先分清图中共有哪些四边形，然后根据定义去判断．例2：如图8，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD＝8，求这个六边形的周长．图8分析：要求其周长，只要求出AF与EF的和即可．如何求？考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形化归为平行四边形来解．解：如图5，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点H，由已知，△ABG和△DEH都是等边三角形．所以∠G＝∠H＝60°．因为∠C＝∠F＝120°，则四边形CGFH为平行四边形，GF＋FH＝CH＋CG＝CD＋DH＋CB＋BG＝CD＋BC＋DE＋AB＝8＋1＋2＝11．所以AF＋FE＝11－1－2＝8．则该六边形的周长为：8＋8＋1＋2＝19．题后反思：解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形．题型2：平行四边形的性质、判定例1：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．图9证明：因为ABCD是平行四边形，所以AD//BC，AD=BC，因为E，F分别是AD，BC的中点，所以ED=AD/2，BF=BC/2，因为AD=BC，所以ED=BF，因为AD//BC，ED=BF，所以四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以BE=DF，且BE//DF。例2：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．图10证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC∴①BE//DF②∠BEA=∠DFC=90º....................................A∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD...........................................................SAB//CD∴∠BAE=∠DCF............................................A∴⊿BAE≌⊿DCF（AAS）∴BE=DF∴四边形BEDF是平行四边形【对边平行且相等】例3：如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，