2016年高考数学专题精解(一)：专题三：2.导数的应用

2016年高考数学专题精解（一）专题三：导数及其应用2.导数的应用考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.利用导数研究函数的单调性.2.利用导数研究函数的极值与最值.3.导数的综合应用及实际应用.1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.主要考查运用导数研究函数的单调性和极值；以实际问题为背景考查导数在生活中的优化问题的应用，以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、方程等知识相结合的问题.预测高考对本部分的考查仍将突出导数的工具性作用.重点考查利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题.结合单调性与最值求参数范围、证明不等式内容是高考热点.知识点一导数与函数的单调性、极值1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f′(x)__0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)__0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数极值的概念(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧_______，右侧_______，那么f(x0)是极小值.f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)的方程_________的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________.(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值知识点二导数函数的最值及在实际生活中的应用1.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与_______.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的_______；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与_________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.最小值最大值f(a)，f(b)2.解决优化问题的基本思路1.本部分知识可以归纳为：(1)三个步骤：求函数单调区间的三个步骤：①确定定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)0(或f′(x)0)求出相应的单调区间.(2)两个条件：①f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件.②对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.2.注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想.3.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.方法1利用导数研究函数的单调性1.由f′(x)0(f′(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.【例1】已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间.[解题指导](1)已知：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(2)分析：①由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行可知f′(1)＝0即可求出k的值；②由函数解析式，求导进而求出函数的单调区间.解(1)由f(x)＝lnx＋kex，得f′(x)＝（lnx＋k）′ex－（lnx＋k）（ex）′e2x＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行可知f′(1)＝0，解得k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－lnx－1ex，x∈(0，＋∞).设h(x)＝1x－lnx－1，则h′(x)＝－1x2－1x0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数，由h(1)＝0知，当0x1时，h(x)0，从而f′(x)0，当x1时，h(x)0，从而f′(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞).[点评]用导数法求可导函数单调区间的一般步骤：求定义域→求导数f′（x）→求f′（x）＝0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f′（x）在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性方法2导数与极值（最值1.求函数f(x)极值的方法求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论.2.求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.【例2】若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围.[解题指导]解(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b.于是f′（2）＝12a－b＝0，f（2）＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4，故所求的函数解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数的大致图象如图所示，故实数k的取值范围是－43，283.[点评]将方程的根转化为函数图象交点问题，进一步转化为求函数的极大(极小)值问题.方法3利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；(4)还原到原实际问题中作答.【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.[解题指导](1)考虑求解C(x)＝k3x＋5中的参数k的值，注意C(0)＝8.(2)由导数求最值，注意考虑定义域.解(1)设隔热层厚度xcm，由题设，每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10).再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5(0≤x≤10).又建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10).(2)f′(x)＝6－2400（3x＋5）2，令f′(x)＝0，即2400（3x＋5）2＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去).当0x5时，f′(x)0，当5x10时，f′(x)0，故x＝5是f(x)的极小值点也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.[点评]解答本题的关键是设出未知量，列出函数关系式，然后分类讨论，利用导数求最值，还要注意函数定义域的范围.方法4构造函数证明不等式恒成立问题利用导数证明不等式的方法(1)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x).(2)证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x).【例4】设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.(1)解f′(x)＝1＋2ax＋bx.由已知条件得f（1）＝0，f′（1）＝2，即1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得a＝－1，b＝3.(2)证明f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋3x＝－（x－1）（2x＋3）x.当0x1时，g′(x)0；当x1时，g′(x)0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.而g(1)＝0，故当x0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.[点评]1.运用导数证明不等式f(x)g(x)成立的一般步骤：第一步：构造h(x)＝f(x)－g(x)；第二步：求h′(x)；第三步：判断h(x)的单调性；第四步：确定h(x)的最小值；第五步：证明h(x)min0成立；第六步：得出所证结论.2.利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是高考的一个新热点，其关键是构造适当的函数，判断区间端点对应的函数值与0的关系，实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不等式.