积分的对称性

积分的对称性定积分的对称性当)(xf在],[aa上连续，则有dxxfxfdxxfaaa0)()()(且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.二重积分的对称性利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用DdxdyyxfI),(①若D关于x轴对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf2),(2DdxdyyxfI0,),(2yDyxD②若D关于y轴对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf1),(2DdxdyyxfI0,),(),(1xDyxyxD③若D关于原点对称时当),(),()1(yxfyxf0I时当),(),()2(yxfyxf3),(2DdxdyyxfI0,0,),(3yxDyxD奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质①、②、③简单地说就是三重积分的对称性使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.dvzyxfI),,(对①若关于xoy面对称时当),,,(),,()1(zyxfzyxf0I时当),,(),,()2(zyxfzyxf1),,(2dvzyxfI0,),,(|),,(1zzyxzyx②若关于xoz面对称时当),,(),,()1(zyxfzyxf0I时当),,(),,()2(zyxfzyxf2),,(2dvzyxfI)0,,,(|),,(2yzyxzyx③若关于yoz面对称时当),,(),,()1(zyxfzyxf0I时当),,(),,()2(zyxfzyxf3),,(2dvzyxfI0,),,(|),,(3xzyxzyx①若L关于y轴对称Ldsyxf),(对Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(时当对弧长的曲线积分的对称性其中L1是L的关于y轴对称的部分弧段0,),(|),(1xLyxyxL②若L关于x轴对称Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(时当其中L2是L的关于x轴对称的部分弧段0,),(|),(2yLyxyxL③若L关于原点对称Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时当LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(时当其中L3是L的对称的部分弧段00,),(|),(3yxLyxyxL与重积分的对称性十分类似对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性设对称于xoy（或yoz，或zox）坐标面若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是奇函数0),,(dSzyxf则若f（x,y,z)关于z（或x，或y）是偶函数1),,(2),,(dSzyxfdSzyxf部分位于对称坐标面一侧的是其中1对面积的曲面积分的对称性