关于椭圆三个定义教学的一点思考

关于椭圆三个定义教学的一点思考现行高中数学教材是类比圆的定义，利用一根绳子固定两端和一支铅笔给出椭圆的画法，让学生从中观察并提炼出椭圆的第一定义，然后推导椭圆的方程。这样的处理相当简洁且符合知识的逻辑体系，但从椭圆定义教学的现状和困惑中我们看到：学生对于椭圆的第一定义与圆锥曲线的名字不能统一起来，且繁琐的标准方程的推到过程，让蕴含在定义中的对称美与几何意义荡然无存，导致所学知识显得支离破碎。针对以上现状与困境，本篇文章旨在简化标准方程的推到过程，并从推导的过程中挖掘出椭圆三个定义，凸显它们之间的内在联系，供老师们教学参考.椭圆的第一定义：把平面内与两个定点1F，2F的距离的和等于常数2a（大于122FFc）的点的轨迹叫做椭圆.集合表示122(22)MMFMFaac｛｝由选修2—1课本39页根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，由椭圆的集合表示，列出等式。直接或移项后平方，都要平方计算两次，计算较繁琐，且纯代数计算体会不到定义内蕴含的对称美及几何意义.其实在这里教师可以启发学生观察：2222()()2xcyxcya1（）方程1（）式左边的特征，由表达式形式上的对称性可去猜想2222()-()xcyxcy？自然想到对1（）式分子有理化处理如下：22222222()()()()241xcyxcyxcyxcyacx就可得到对称式的结果2（）式即22222()()cxxcyxcya—2（）由（1）—（2）可得22()cxxcyaa3（）对于3（）式两边只进行一次平方计算后即得到教科书上的等式22222222-()acxayaac（）4（）对上式两边同时除于222-aca（）可得到等式222221yxaac(5)再令222-(0)acbb，则得到椭圆的标准方程22221yxab椭圆的第二定义：把平面内到一定点F的距离与到一定直线l的距离之比为一常数e(0e1)点的轨迹叫做椭圆.集合表示(01)MFMeed｛｝由选修2—1课本47页的例六，给学生归纳出椭圆的第二定义。其实可以由3（）式直接推导出椭圆的第二定义.222()()cxcaxcyaxaac即得到222()xcycaaxc这个式子的几何意义为：一动点到一定点的距离与到一定直线的距离之比为一常数.即为椭圆的第二定义。椭圆的第三定义：把平面内到两个定点1A，2A的斜率乘积为一个常数221(110)ee点的轨迹叫做椭圆.集合表示12221(110)MAMAMkkee｛｝教学时一般由选修2—1课本41页的例三，推广到一般情形给学生归纳出椭圆的第三定义。其实也可以由5（）式直接推导出椭圆的第三定义.对于(5)式移项通分变形可得到等式222222-aycaxa（）两边再同时除于2a得到22221-yexa（）对上式右边因式分解得到*222221(110)-yyyeexaxaxa（）这个式子的几何意义为：平面内的动点到两个定点的斜率乘积为一个常数即椭圆第三定义.对于椭圆的第三定义中为了保证两条线的斜率均存在，动点当然不能取两个定点。故经常把这个定义当成椭圆的一个性质来应用，并且可以对它进行推广如下：设111,Axy（），112-,-Axy（）为椭圆2222:1yxabE上关于原点对称的任意两点.任取椭圆E上的一点(,)Mxy，若1MAk，2MAk均存在，则1221MAMAkke为定值.证明：由题可得11222222221112yxabxyab（）（）（1）-（2）得：11222222-0xyabxy即11222222=-yybaxx而111111222212=()()()()MAMAyyxxyyyyxxxxkk从而2122=2-=1MAMAbakke；故得证.