09-点、直线、圆和圆的位置关系

主讲：蓝豆点、直线、圆和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.com点和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.com点和圆的位置关系如图所示，设⊙𝑂的半径为𝑟，平面上一点到圆心的距离为𝑑，则有：点𝐴在⊙𝑂外⇔𝑑𝑟；点𝐵在⊙𝑂上⇔𝑑=𝑟；点𝐶在⊙𝑂内⇔𝑑𝑟.【知识点】点和圆的位置关系OBCA中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，已知矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵=3𝑐𝑚,𝐴𝐷=4𝑐𝑚.（1）以点𝐴为圆心，4𝑐𝑚为半径作⊙𝐴，则𝐵,𝐶,𝐷与⊙𝐴的位置关系如何？（2）若以𝐴为圆心作⊙𝐴，使𝐵,𝐶,𝐷三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙𝐴的半径𝑟的取值范围是什么？【答案】（1）B在圆内，D在圆上，C在圆外（2）3𝑐𝑚𝑟5𝑐𝑚点和圆的位置关系ABDC中小学数学精品视频课程xuetong.com过已知点作圆（1）经过一个点𝐴可以作无数个圆（2）过两点可作无数个圆（3）过不在同一直线上的三个点确定一个圆（4）过同一直线上的三点不能作圆（5）过任意四点不一定能作出圆【知识点】点和圆的位置关系AO2O1O3𝑂ABC中小学数学精品视频课程xuetong.com三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外心三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.如图所示，⊙𝑂是𝛥𝐴𝐵𝐶的外接圆，点𝑂是𝛥𝐴𝐵𝐶的外心.【知识点】点和圆的位置关系OCAB提示：一个三角形有且只有一个外接圆中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，∠𝐶=45°，𝐴𝐵=4，求⊙𝑂的半径.【答案】22点和圆的位置关系OBCA45°中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，且𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐴，𝑀是𝐵𝐶上任意一点，连接𝑀𝐴,𝑀𝐵,𝑀𝐶,求证：𝑀𝐴=𝑀𝐵+𝑀𝐶.点和圆的位置关系OCBAM𝑫中小学数学精品视频课程xuetong.com直线和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.com【知识点】直线和圆的位置关系直线与圆的位置:从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较𝒅𝒓𝒅𝒓𝒅𝒓𝒅=𝒓𝒅𝒓𝒅𝒓相离相交相切直线与圆有两个交点直线与圆有一个交点直线与圆没有交点中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=3𝑐𝑚,𝐵𝐶=4𝑐𝑚,∠𝐶=90°.当𝑟为下列各值时，以𝐶为圆心，𝑟为半径的圆与𝐴𝐵有何关系？为什么？（1）𝑟=2𝑐𝑚（2）𝑟=2.4𝑐𝑚（3）𝑟=3𝑐𝑚【答案】相离，相切，相交直线和圆的位置关系CABDCABD中小学数学精品视频课程xuetong.com切线的判定定理中小学数学精品视频课程xuetong.com切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【知识点】切线的判定定理用数学符号语言表示为：如图，直线𝑙⊥𝑂𝐴于点𝐴,𝑂𝐴是⊙𝑂的半径，则直线𝑙是⊙𝑂的切线.𝒍𝑨𝑶切线的识别方法：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；（3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐷在𝐴𝐵的延长线上，𝐵𝐷=𝑂𝐵,点𝐶在圆上，∠𝐶𝐴𝐵=30°，求证：𝐶𝐷是⊙𝑂的切线.切线的判定定理BOADC中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝑂为∠𝐵𝐴𝐶平分线上一点，𝑂𝐷⊥𝐴𝐵于点𝐷，以𝑂为圆心，𝑂𝐷为半径作圆𝑂.求证：⊙𝑂与𝐴𝐶相切.切线的判定定理EOBACD中小学数学精品视频课程xuetong.com切线的性质定理中小学数学精品视频课程xuetong.com圆的切线垂直于过切点的半径【知识点】切线的性质定理lAO如图，用数学符号语言表示：直线𝑙切⊙𝑂于点𝐴，则𝑙⊥𝑂𝐴于点𝐴.圆的切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，点𝐴是⊙𝑂外一点，𝑂𝐴交⊙𝑂于𝐵点，𝐴𝐶是⊙𝑂的切线，切点是𝐶，且∠𝐴=30°,𝐵𝐶=1.求⊙𝑂的半径.【答案】1切线的性质定理OBAC中小学数学精品视频课程xuetong.com切线长及切线长定理中小学数学精品视频课程xuetong.com切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长【知识点】切线长及切线长定理OAP切线是直线，不可度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外一点和切点之间的距离可以度量直线𝑃𝐴是⊙𝑂的切线，𝐴是切点，线段𝑃𝐴的长是点𝑃到⊙𝑂的切线长中小学数学精品视频课程xuetong.com切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角【知识点】切线长及切线长定理DCOBPA3412用数学符号表示∵𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙𝑂两条切线，∴𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝑂=∠𝑂𝑃𝐵=12∠𝐴𝑃𝐵还可以得出很多结论，如：𝑃𝐴⊥𝑂𝐴,𝑃𝐵⊥𝑂𝐵;𝑃𝑂⊥𝐴𝐵;𝐴𝐷=𝐵𝐷;𝐴𝐶=𝐵𝐶;∠1=∠2=∠3=∠4等中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝑃是⊙𝑂外一点，𝑃𝐴,𝑃𝐵分别和⊙𝑂切于𝐴,𝐵两点，𝑃𝐴=𝑃𝐵=4𝑐𝑚,∠𝑃=40°,𝐶是𝐴𝐵上任意一点，过点𝐶作⊙𝑂的切线，分别交𝑃𝐴,𝑃𝐵于点𝐷,𝐸，试猜想：（1）𝛥𝑃𝐷𝐸的周长；【答案】8𝑐𝑚切线长及切线长定理OCPDEAB中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，𝑃是⊙𝑂外一点，𝑃𝐴,𝑃𝐵分别和⊙𝑂切于𝐴,𝐵两点，𝑃𝐴=𝑃𝐵=4𝑐𝑚,∠𝑃=40°,𝐶是𝐴𝐵上任意一点，过点𝐶作⊙𝑂的切线，分别交𝑃𝐴,𝑃𝐵于点𝐷,𝐸，试猜想：（2）∠𝐷𝑂𝐸的度数.【答案】8𝑐𝑚，70°切线长及切线长定理OCPDEAB中小学数学精品视频课程xuetong.com三角形的内切圆中小学数学精品视频课程xuetong.com三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心【知识点】三角形的内切圆IDABCEF中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，在𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°,𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴的长分别为𝑐,𝑎,𝑏，求𝛥𝐴𝐵𝐶的内切圆半径𝑟.三角形的内切圆ODABCEF直角三角形内切圆的半径𝑟=𝑎+𝑏−𝑐2（其中𝑎，𝑏为直角边，𝑐为斜边）中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】如图所示，一圆内切于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐵=16,𝐶𝐷=10，则四边形的周长为（）A.50B.52C.54D.56【答案】B三角形的内切圆OEDCABGHF中小学数学精品视频课程xuetong.com圆和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.com圆和圆的位置关系半径不等的两圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含设两圆圆心间距离为𝑑，两圆半径分别为𝑅,𝑟𝑅𝑟（1）两圆外离⇔𝑑𝑅+𝑟（2）两圆外切⇔𝑑=𝑅+𝑟（3）两圆相交⇔𝑅−𝑟𝑑𝑅+𝑟（4）两圆内切⇔𝑑=𝑅−𝑟（5）两圆内含⇔0≤𝑑𝑅−𝑟【知识点】圆和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.com【知识点】圆和圆的位置关系半径不等的两圆的位置关系相离没有公共点外离内含相切只有一个公共点外切内切相交有两个公共点两等圆之间的位置关系有：外离、外切、相交、重合。中小学数学精品视频课程xuetong.com【例题】两圆半径长分别为𝑅和𝑟𝑅𝑟，圆心距为𝑑，关于𝑥的方程𝑥2−2𝑟𝑥+𝑅−𝑑2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（）A.一定内切B.一定外切C.相交D.内切或外切【答案】D圆和圆的位置关系中小学数学精品视频课程xuetong.comPracticemakesperfect!基础知识提前学熟能生巧！中小学数学精品视频课程xuetong.com