初中数学规律探究题

学习资料收集于网络，仅供参考学习资料归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是；第n个数据应为。2.（南平）给定一列按规律排列的数：1234,,,251017，…，则这列数的第6个数是()A．637B．635C．531D．7393．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值是．4．（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为．5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a1＝1−13，a2＝1124，a3＝1135，a4＝1146，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=．6.（南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝12，a2＝111a，a3＝211a，…，an＝111na（n≥2且n为正整数），则a2016的值为（结果用数字表示）．7.（广安）已知直线y=(1)122nxnn（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2016=．8.（大庆）已知111(1)1323，1111()35235，1111()57257，…依据上述规律，计算113135+157…120152017的结果为。9．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……………按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为；第n行（n≥3）从左到右的第3个数为．（用含n的代数式表示）10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：1111211331146411222332234432234()()2()33()464abababaabbabaababbabaabababb学习资料收集于网络，仅供参考学习资料根据前面各式的规律，则6()__________________________________.ab考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为____________（用含n的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．学习资料收集于网络，仅供参考学习资料7.如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8.如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32B．29C．28D．2610．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21B．24C．27D．3011.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）学习资料收集于网络，仅供参考学习资料13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．第1个第2个第3个第4个14.将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1.（张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016=．2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为．3．（牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．5.如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)均在反比例函数1yx（x0）的图象上，若△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAnAn都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，AnAn都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是____________，点Pn的坐标是___________．（用含n的代数式表示）P3P2P1OxyA3A2A16.二次函数223yx的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周长为．C1C2C3(A0)A2A3B3B2B1A1Oyx学习资料收集于网络，仅供参考学习资料7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．……D10C10A9C9D4C4A3C3D3D2C2A2A1C1BD1A8.如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若mn＝4725，则正△ABC的边长是________．9.设△ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则Sn可表示为__________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．图2图1OE2D2E1D1OE1D1CBACBAD3图3E3E2OD2D1E1CBA考点四：坐标系和表格中的规律1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____________（用n表示）。2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是_____________。学习资料收集于网络，仅供参考学习资料．3.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2016个点的坐标为____________．……4123yxO3214．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。6.如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An．将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An．则顶点M2016的坐标为（________，________）．学习资料收集于网络，仅供参考学习资料M1M2M3A3A2xyA1O课后练习考点一：猜想数式规律1．(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，1