4.2典型环节与系统频率特性

第四章频率特性法第二节典型环节与系统频率特性频率特性法是一种图解分析法，因而可避免繁杂的求解运算。一、典型环节的频率特性二、控制系统开环频率特性三、根据伯得图确定传递函数第二节典型环节与系统的频率特性G(jω)=KA(ω)=Kφ(ω)=0o一典型环节的频率特性1．比例环节0KReIm比例环节的奈氏图(1)奈氏图奈氏图是实轴上的K点。G(s)=K传递函数和频率特性幅频特性和相频特性比例环节的伯德图对数幅频特性：对数相频特性：(2)伯德图20lgK0L(ω)/dB0ω10.110.1ω第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)=20lgA(ω)=20lgK=0o=tg-1φ(ω)Q(ω)P(ω)φ(ω)2．积分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图积分环节奈氏图ReIm0ω=0∞第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=1SG(jω)=1jωA(ω)=1ωφ(ω)=-90o(2)伯德图对数幅频特性：对数相频特性：积分环节的伯德图Φ(ω)ω10.1100-90L(ω)/dB10.1ω10020-2040-20dB/dec第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)=20lgA(ω)=-20lgωφ(ω)=-90o3．微分环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性(1)奈氏图微分环节奈氏图ReIm0ω-0∞第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=SG(jω)=jωA(ω)=ωφ(ω)=90o(2)伯德图微分环节的伯德图Φ(ω)ω10.110L(ω)/dB10.1ω10020-2020dB/dec对数幅频特性：对数相频特性：第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)=20lgA(ω)=20lgωφ(ω)=90o0904．惯性环节传递函数和频率特性幅频特性和相频特性第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=1Ts+1G(jω)=1jωT+1A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT(1)奈氏图绘制奈氏图近似方法:根据幅频特性和相频特性求出特殊点,然后将它们平滑连接起来.ω∞ReIm01ω=Tω=0-45ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-90o惯性环节的奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0o取特殊点：1ω=TA(ω)=0.707φ(ω)=-45o可以证明：惯性环节的奈氏图是以(1/2,jo)为圆心，以1/2为半径的半圆。(2)伯德图ω1/T频段,可用0dB渐近线近似代替。第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)=20lg11+(ωT)2ω1T(ωt)2120lg1=0dB~~L(ω)L(ω)/dB渐近线转折频率渐近线精确曲线-20020-20dB/dec惯性环节的伯德图T110T110Tωω1T(ωT)2120lgωT1~~L(ω)=-20lgωTω1/T频段，可用-20dB/dec渐近线近似代替两条渐近线相交点的频率为转折频率ω=1/T。渐近线所产生的最大误差值为：L(ω)=20lg11+(ωT)221=20lg=-3.03dBω0-45-90相频特性曲线：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)φ(ω)=-45oω=1/Tφ(ω)=-90oω→∞5．一阶微分环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=1+TsG(jω)=1+jωTA(ω)=1+(ωT)2φ(ω)=tg-1ωT(1)奈氏图1ReIm0∞ω=0一阶微分环节奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=∞A(ω)=∞φ(ω)=90o第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：L(ω)=20lg1+(ωT)2一阶微分环节的频率特性与惯性环节成反比,所以它们的伯德图对称于横轴.G(jω)=1+jωT1+jωTG(jω)=1L(ω)=20lg1+(ωT)21一阶微分环节的伯德图L(ω)/dB-20020T110T110Tω渐近线精确曲线ω45090φ(ω)6．振荡环节传递函数和频率特性：幅频特性和相频特性：第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2G(jω)=ωn2ωn2-ω2+j2ζωnωφ(ω)=tg-1ωn2-ω22ζωnωA(ω)=(ωn2-ω2)2+(2ζωnω)2ωn2=(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1振荡环节的奈氏图ReIm01ω=0ω=ωnξ=0.8ξ=0.6ξ=0.4ω∞第二节典型环节与系统的频率特性(1)奈氏图ω=0A(ω)=1φ(ω)=0oω=ωnφ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180oA(ω)=2ζ1振荡环节的频率特性曲线因ζ值的不同而异.第二节典型环节与系统的频率特性(2)伯德图对数幅频特性：(1-)2+()2ω2ωn22ζωωn1L(ω)=20lgωωnω2ωn2≈0ω2ωn2(2ζ)2≈0L(ω)≈20lg1=0dBωωnωωn(2ζ)2≈01≈0L(ω)≈-40lgωωn对数相频特性：ω=0φ(ω)=0oφ(ω)=-90oω=ωnφ(ω)=-180oω→∞振荡环节的伯德图→转折频率ω=ωn从图可知,当ζ较小时，对数幅频特性曲线出现了峰值，称为谐振峰值Mr，对应的频率称为谐振频率ωr。第二节典型环节与系统的频率特性dA(ω)dω=0ωr=ωn1-2ζ2(0≤ζ≤0.707)Mr=A(ωr)=2ζ1-ζ21可求得代入得精确曲线与渐近线之间存在的误差与ζ值有关，ζ过大或过小，误差都较大，曲线应作出修正。7．时滞环节时滞环节的奈氏图是一个单位圆(1)奈氏图1ω=00ReIm第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=e-τsG(jω)=e-jωτA(ω)=1φ(ω)=-τω（2）伯德图时滞环节的伯德图第二节典型环节与系统的频率特性φ(ω)=-τωL(ω)=20lg1=0φ(ω)L(ω)/dBω0ω1100-100-200-3008．非最小相位环节开环传递函数中没有S右半平面上的极点和零点的环节,称为最小相位环节;而开环传递函数中含有S右半平面上的极点或零点的环节,则称为非最小相位环节。第二节典型环节与系统的频率特性最小相位环节对数幅频特性与对数相频特性之间存在着唯一的对应关系。而对非最小相位环节来说，就不存在这种关系。以一阶不稳定环节为例说明：第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=1Ts-1G(jω)=1jωT-1A(ω)=11+(ωT)2φ(ω)=-tg-1ωT-1A(ω)=1φ(ω)=-180oω=0A(ω)=0φ(ω)=-90oω→∞Re0Im-1ω=0ω∞环节的奈氏图第二节典型环节与系统的频率特性一阶不稳定环节的伯德图11+(ωT)2L(ω)=20lgφ(ω)=-180oω=0φ(ω)=-90oω→∞L(ω)/dB-20020T110T110Tωω0-90-180φ(ω)二、控制系统开环频率特性频率特性法的最大特点是根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能,这样可以简化分析过程.所以绘制系统的开环频率特性曲线就显得尤为重要.下面介绍开环系统的幅相频率特性曲线和对数频率特性曲线的绘制.第二节典型环节与系统的频率特性第二节典型环节与系统的频率特性1．系统开环幅相频率特性曲线系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的,一般表达式为：G(s)=Sυ∏(TjS+1)n-υj=1k∏(τiS+1)i=1m(jω)υΠ(Tjjω+1)n-υj=1kΠ(τijω+1)mi=1G(jω)=频率特性表达式：υ—积分环节的个数Tj,τi—时间常数n—系统的阶次K—开环增益nmωυΠ1+(ωTj)2n-υj=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=幅频特性:相频特性:φ(ω)=-υ90o+Σtg-1ωτi-Σtg-1ωTjmn-υi=1j=1采用近似作图法绘制系统的奈氏图:先把特殊点找出来，然后用平滑曲线将它们连接起来。第二节典型环节与系统的频率特性(1)0型系统υ=0Π1+(ωTj)2nj=1KΠ1+(ωτi)2i=1A(ω)=mΣtg-1ωτimi=1φ(ω)=nj=1-Σtg-1ωTj特殊点:ω=0A(ω)=Kφ(ω)=0o系统起点和终点ReIm0Kν=0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o(2)Ｉ型系统第二节典型环节与系统的频率特性ωΠ1+(ωTj)2n-1j=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=υ=1Σtg-1ωτimi=1φ(ω)=-90o+n-1j=1-Σtg-1ωTj系统起点和终点ReIm0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-90oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o(2)II型系统第二节典型环节与系统的频率特性υ=2ω2Π1+(ωTj)2n-2j=1kΠ1+(ωτi)2mi=1A(ω)=Σtg-1ωτimi=1φ(ω)=-180o+n-2j=1-Σtg-1ωTjReIm0n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ω=0系统起点和终点ω=0A(ω)=∞φ(ω)=-180oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-(n-m)90o0型、Ｉ型和II型系统起点和终点的综合情况如图。ν=1ReIm0ν=0ν=3ν=2奈氏曲线的起点奈氏曲线的终点n-m=2n-m=1n-m=3ω=∞ReIm0第二节典型环节与系统的频率特性例试绘制系统的奈氏图。系统的奈氏图ReIm0ω=∞ω=0解：n-m=2I型系统第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=KS(TS+1)1+(ωT)2KωA(ω)=φ(ω)=-90o-tg-1ωTω特殊点:ω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω=∞A(ω)=0φ(ω)=-180o例4-3已知系统的开环传递函数试画出该系统的开环幅相特性曲线。解：n=m第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=K(1+τs)1+Ts1+(ωT)21+(ωT)2KA(ω)=φ(ω)=tg-1ωτ-tg-1ωT1)τTω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω0A(ω)Kφ(ω)0oω=∞A(ω)Kφ(ω)=0oω=∞Kω=0Re0ImKτTτT的奈氏图2)τTω=0A(ω)=Kφ(ω)=0oω0A(ω)Kφ(ω)0oω=∞A(ω)Kφ(ω)=0oτT的奈氏图ω=∞Kω=0Re0ImKτT2．系统开环对数频率特性系统的开环传递函数一般由典型环节串联而成：开环系统的频率特性：第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=G1(s)·G2(s)·G3(s)…=ΠGi(s)ni=1G(jω)=ΠGi(jω)ni=1=ΠAi(ω)eni=1jφi(ω)开环系统的对数幅频特性：L(ω)=20lgΠAi(ω)ni=1ni=1=Σ20lgAi(ω)ni=1=ΣLi(ω)开环系统的对数相频特性：ni=1φ(ω)=Σφi(ω)绘制系统开环对数频率特性曲线的一般步骤：1)将开环传递函数化成典型环节的乘积。3)将各环节的对数幅频、相频曲线相加。第二节典型环节与系统的频率特性2）画出各典型环节的对数幅频和对数相频特性曲线；例已知开环传递函数，试画出系统的开环对数频率特性曲线。解：第二节典型环节与系统的频率特性G(s)=(S+10)S(2S+1)G(s)=10(0.1S+1)S(2S+1)1)将式子标准化解2)画出各环节的对数频率特性曲线。G1(s)=10ω-20dB\decφ3φ1φ4φ2L1L3L2L41100.5-20020400-180-9090-40dB/dec-20dB/decωG2(s)=1SG3(s)=0.1S+1G4(s)=2S+113）将各环节的曲线相加，即为开环系统的对数频率特性曲线。通过上例可知：根据对数幅频特性曲线的低频段和各转折频率即可确定系统的对数频率特性曲线。低频段幅频特性近似表示为：低频段曲线的斜率低频段曲线的高度第二节典型环节与系统的频率特性L(ω)≈20lgK-20lgωυ-20υdB/decL(1)=20lgK实际的作图过程可简化为：1)将开环传递函数标准化；2)在坐标中标出各环节的转折频率；3）过ω=1，L(ω)=20lgK这点，作斜率为-20νdB/dec的低频渐近线；4）每到某一环节的转折频率处，根据该环节的特性改变一次渐近线的斜率。5)画