由递推公式求通项的常用方法和技巧

课外拓展阅读由递推公式求通项的常用方法和技巧递推数列是高考考查的热点，由递推公式求通项时，一般需要先对递推公式实行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．下面给出几种常见的递推数列，并讨论其通项公式的求法．类型1an＋1＝an＋f(n)把原递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解．[典例1]已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]因为a1＝2，an＋1－an＝n＋1，所以an－an－1＝(n－1)＋1，an－1－an－2＝(n－2)＋1，an－2－an－3＝(n－3)＋1，…a2－a1＝1＋1，由已知，a1＝2＝1＋1，将以上各式相加，得an＝[(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋2＋1]＋n＋1＝n－1[n－1＋1]2＋n＋1＝nn－12＋n＋1＝nn＋12＋1.类型2an＋1＝f(n)an把原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解．[典例2]已知数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋1·an，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]由an＋1＝nn＋1·an，得an＋1an＝nn＋1.当n≥2，n∈N*时，an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·…·12·23＝23n，即an＝23n.又当n＝1时，23×1＝23＝a1，故an＝23n.类型3an＋1＝pan＋q[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0]先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解．[典例3]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]设递推公式an＋1＝2an＋3能够转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1,即an＝2n＋1－3.类型4an＋1＝pan＋qn[其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0](1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得an＋1qn＋1＝pq·anqn＋1q，引入辅助数列{bn}其中bn＝anqn，得bn＋1＝pq·bn＋1q，再用待定系数法解决；(2)也可在原递推公式两边同除以pn＋1，得an＋1pn＋1＝anpn＋1pqpn，引入辅助数列{bn}其中bn＝anpn，得bn＋1－bn＝1pqpn，再利用累加法(逐差相加法)求解．[典例4]已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]解法一：将an＋1＝13an＋12n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝23(2nan)＋1.令bn＝2nan，则bn＋1＝23bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23(bn－3)．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列．所以bn－3＝－43·23n－1，即bn＝3－2·23n.于是，an＝bn2n＝32n－23n.解法二：将an＋1＝13an＋12n＋1两边分别乘以3n＋1，得3n＋1an＋1＝3nan＋32n＋1.令bn＝3nan，则bn＋1＝bn＋32n＋1，所以bn－bn－1＝32n，bn－1－bn－2＝32n－1，…，b2－b1＝322.将以上各式叠加，得bn－b1＝322＋…＋32n－1＋32n，又b1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以bn＝1＋32＋322＋…＋32n－1＋32n＝1·1－32n＋11－32＝2·32n＋1－2，即bn＝2·32n＋1－2.故an＝bn3n＝32n－23n.类型5an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，然后与已知递推式比较，解出x，y，从而得到{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．[典例5]设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[思路分析]an＝3an－1＋2n－1→利用待定系数法得到一个等比数列→利用等比数列的知识可解[解析]设递推公式能够转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，化简后与原递推式比较，得2A＝2，2B－3A＝－1，解得A＝1，B＝1.则an＋n＋1＝3[an－1＋(n－1)＋1]．令bn＝an＋n＋1，(*)则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，代入(*)，得an＝2·3n－n－1.类型6an＋1＝parn(p0，an0)这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型，再利用待定系数法求解．[典例6]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1m·a2n(m0)，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解析]对an＋1＝1m·a2n两边取对数，得lgan＋1＝2lgan＋lg1m.令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg1m.所以得bn＋1＋lg1m＝2bn＋lg1m，记cn＝bn＋lg1m，则cn＋1＝2cn.所以数列{cn}是首项c1＝b1＋lg1m＝lg1m，公比为2的等比数列．所以cn＝2n－1·lg1m.所以bn＝cn－lg1m＝2n－1·lg1m－lg1m＝lgm·1m2n－1，即lgan＝lgm·1m2n－1，所以an＝m·1m2n－1.类型7an＋1＝panqan＋r(p，q，r≠0且an≠0，qan＋r≠0)这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理．若p＝r，则有1an＋1＝r＋qanpan＝1an＋qp，此时1an为等差数列．若p≠r，则有1an＋1＝rp·1an＋qp，此时可转化为类型3来处理．[典例7]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解析]因为an＋1＝2anan＋2，a1＝1，所以an≠0，所以1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.又a1＝1，则1a1＝1，所以1an是以1为首项，以12为公差的等差数列．所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝n＋12，所以an＝2n＋1(n∈N*)．类型8an＋1＋an＝f(n)将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．[典例8]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]因为an＋1＋an＝2n，所以an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2，即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2n2－1＝n－1.当n为奇数时，因为an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.综上知，an＝n，n为奇数，n－1，n为偶数，n≥1，n∈N*.类型9an＋1·an＝f(n)将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得an＋2an＝fn＋1fn，然后将n按奇数、偶数分类讨论即可．[典例9]已知数列{an}中，a1＝3，an＋1·an＝2n，求数列{an}的通项公式．[思路分析][解]因为an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故an＋2an＝2，即数列{an}是奇数项与偶数项都是公比为2的等比数列．当n为偶数时，a2＝23，故an＝a2·2n2－1＝23·2n2－1，即an＝13·2n2；当n为奇数时，n＋1为偶数，故an＋1＝13·2n2+1，代入an＋1·an＝2n，得an＝3·2n2－1.综上知，an＝3·2n2－1，n为奇数，13·2n2，n为偶数.