【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第七节 函数的图象课

第七节函数的图象考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数;(2)会运用函数图象理解和研究函数性质,解决方程解的个数问题.作图★函数图象主要体现在三点即作图、识图与用图,但每年对函数图象的考查形式多样,命题形式主要有由函数的性质及解析式来识图,由函数的图象来研究函数的性质,图象的变换,数形结合解决问题等,其重点是基本初等函数的图象和函数的性质在图象上的直观体现.知式选图或知图选式★★★★图象性质的应用★★★★1.利用描点法作函数的图象的操作流程作函数图象的核心为列表、描点、连线,具体操作流程如下:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);④列表(注意零点、最值点、与坐标轴的交点等),描点,连线(注意用光滑的曲线连).2.利用图象变换作图(1)平移变换(2)对称变换(3)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于x=𝑏-𝑎2对称.4.常用的数学方法与思想平移、伸缩、对称、翻折,分类讨论思想、数形结合思想.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)若函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.()(1)√(2)若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x-1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.()(2)×【解析】由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),则函数为以2为周期的周期函数.(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.()(3)×(4)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到.()(4)√2.(2015·青岛诊断)函数y=𝑥32𝑥-1的图象大致是()2.C【解析】特殊值法,由2x-1≠0⇒x≠0,所以排除选项A;又当x0时,2x-10,因此y0,所以排除选项B;当x→+∞,2x指数递增幅度比幂函数x3大,所以y→0,选项C,D中只有选项C符合条件.3.函数f(x)=1𝑥-x的图象关于()A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称3.C【解析】由f(x)=1𝑥−𝑥得𝑓(−𝑥)=−1𝑥+𝑥=−1𝑥-x=-f(x),所以其图象关于原点对称,即选项C正确.4.要得到函数y=8·2-x的图象,只需将函数y=12𝑥的图象()A.向右平移3个单位B.向左平移3个单位C.向右平移8个单位D.向左平移8个单位4.A【解析】因为y=8·2-x=2-x+3=2-(x-3),y=12𝑥=2−𝑥,则将函数𝑦=12𝑥的图象向右平移3个单位可得到y=8·2-x的图象.考点1函数图象的作法典例1作出下列函数的图象:(1)f(x)=𝑥1+|𝑥|;(2)f(x)=lg|x-1|.【解题思路】先作出基本初等函数,再利用平移、翻折等变换作出函数的图象.【参考答案】(1)f(x)=𝑥1+|𝑥|=𝑥1+𝑥(𝑥≥0),𝑥1-𝑥(𝑥0).当x≥0时,y=𝑥1+𝑥=1−1𝑥+1,其图象可由𝑦=−1𝑥的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位得到如图(a),又由于f(x)为奇函数,图象关于原点对称,∴f(x)的图象如图(b)所示.(2)f(x)=lg|x-1|可视为函数f(x)=lg|x|的图象向右平移一个单位得到.第一步作y=lgx的图象;第二步将y=lgx的图象沿y轴对折后与原图象,同为y=lg|x|的图象;第三步将y=lg|x|的图象向右平移一个单位,得到y=lg|x-1|的图象.函数图象的常用画法(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本初等函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,尤其是左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减.(3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法,为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.(4)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.【变式训练】分别作出下列函数的图象:(1)f(x)=x2-2|x|-3;(2)f(x)=2𝑥-1𝑥-1.【解析】(1)f(x)=x2-2|x|-3=𝑥2-2𝑥-3(𝑥≥0),𝑥2+2𝑥-3(𝑥0)为偶函数,其图象可由f(x)=x2-2x-3右边部分保留,并作右边部分关于y轴对称图形可得,如图1.(2)f(x)=2𝑥-1𝑥-1=2(𝑥-1)+1𝑥-1=2+1𝑥-1,其图象可由函数𝑓(𝑥)=1𝑥图象向右平移一个单位,再向上平移2个单位得到,如图2.考点2知式选图或知图选式命题角度1:知式选图典例2(2015·厦门质检)在直角坐标系中,函数f(x)=sinx-1x的图象可能是()【解题思路】利用函数的奇偶性、特殊值等验证.因为f(-x)=-sinx+1𝑥=−sin𝑥-1𝑥=-f(x),所以该函数为奇函数,图象关于原点对称,因此排除选项C;又当x0开始时的函数值小于0,所以排除选项B,D,故只有选项A符合.【参考答案】A命题角度2:知图选式典例3(2015·河北冀州中学模拟)下图可能是下列哪个函数的图象()A.y=2x-x2-1B.y=2𝑥sin𝑥4𝑥+1C.y=(x2-2x)exD.y=𝑥ln𝑥【解题思路】利用原点、大于0而接近0的点及小于0而接近0的点对应的函数值情况求解.函数图象过原点,所以D排除;当x0开始时函数值是负数,而B项原点右侧开始时函数值为正数,所以B排除;当x0时,2x1,所以2x-x2-10,所以A排除;只有C项满足条件.【参考答案】C函数图象辨别问题的常见方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.【变式训练】1.(2015·广州三校联考)函数y=ln𝑥𝑥的图象大致是()1.A【解析】函数y=ln𝑥𝑥的定义域为(0,+∞),令𝑦=0,得𝑥=1,所以函数𝑦=ln𝑥𝑥只有一个零点.当0𝑥1时,ln𝑥0,所以𝑦=ln𝑥𝑥0;当𝑥1时,ln𝑥0,所以𝑦=ln𝑥𝑥0.比较四个选项中的图象,可知只有A项中的图象符合条件.2.(2015·安徽高考)函数f(x)=𝑎𝑥+𝑏(𝑥+𝑐)2的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c02.C【解析】因为f(x)=𝑎𝑥+𝑏(𝑥+𝑐)2在𝑥,𝑦轴上截距均为正,所以𝑥=−𝑏𝑎0,𝑦=𝑏𝑐20,故a0,b0,又因为函数间断点值为正,所以-c0,故c0.考点3函数图象的应用典例4(2014·湖南高考)已知函数f(x)=x2+ex-12(x0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.-∞,1√eB.(-∞,√e)C.-1√e,√eD.-√e,1√e【解题思路】将问题等价转化为指、对数函数的关系,结合对称性与函数的图象变换解题.当x0时,由于函数f(x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,则有x2+ex-12=(−𝑥)2+ln(−𝑥+𝑎)=𝑥2+ln(−𝑥+𝑎),整理有ex−12=ln(−𝑥+𝑎),则对应的函数𝑦1=ex−12与𝑦2=ln(−𝑥+𝑎)在(−∞,0)上有交点,当𝑥=0时,ln𝑎=e0−12=12,可得𝑎=√e,而要使两函数在(−∞,0)上有交点,只要满足𝑎√e即可.【参考答案】B1.函数的对称性问题的解题关键(1)把握研究的函数与基本初等函数的关系;(2)四种变换的确定.2.利用函数图象交点研究方程的根方程f(x)=0的根即是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,而方程f(x)=g(x)的根是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点的横坐标.【变式训练】已知最小正周期为2的函数f(x)在区间[-1,1]上的解析式是f(x)=x2,则函数f(x)在实数集R上的图象与函数y=g(x)=|log5x|的图象的交点的个数是()A.3B.4C.5D.6C【解析】函数y=f(x)的最小正周期为2,所以f(x+2)=f(x),因为f(x)=x2,y=g(x)=|log2x|,作图如下从图中易知交点个数为5.利用函数图象求参数的取值范围典例(2015·哈尔滨六中月考)已知函数f(x)=|𝑥+1|(𝑥≤0),|log2𝑥|(𝑥0),若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4,则x3(x1+x2)+1𝑥32𝑥4的取值范围是.【解题思路】审题程序:信息提取思路分析函数f(x)=|𝑥+1|(x≤0),|log2𝑥|(𝑥0)的图象先将分段函数f(x)的图象作出方程f(x)=a有四个不同的解直线y=a与函数y=f(x)的图象有四个交点x1,x2,x3,x4,且x1x2x3x4利用x1x2x3x4的关系确定各自的范围,进而求出要求的范围作出函数f(x)=|𝑥+1|(𝑥≤0),|log2𝑥|(𝑥0)的图象(如图所示),由图可知x1+x2=-2,x3x4=1,1x4≤2,故x3(x1+x2)+1𝑥32𝑥4=-2𝑥4+x4,1x4≤2.由于y=-2𝑥4+x4在区间(1,2]上递增,故-2+1-2𝑥4+x4≤-1+2⇒-1-2𝑥4+x4≤1,故所求取值范围为(-1,1].【参考答案】(-1,1]对于利用函数图象求参数的取值范围问题,首先是图象的位置中的关键点要确定;其次图象的单调性要确定,这是利用图象解决问题的前提条件,否则易错,如题中的x1+x2=-2,x3x4=1,1x4≤2的范围确定.【针对训练】已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是.-1,-12∪14,13【解析】本题考查利用函数图象的交点解决范围问题.关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑘𝑥+𝑘有三个不同的实数根,转化为𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑘𝑥+𝑘=𝑘(𝑥+1)两个函数图象有三个不同的交点,函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如图所示,由于函数𝑦=𝑘(𝑥+1)恒过定点为(−1,0),观察图象易得𝑘∈-1,-12∪14,13.