材料力学教案-第4章-平面图形的几何性质

第4章平面图形的几何性质教学目的：掌握静矩与形心的概念；熟练掌握惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径的概念；掌握平行移轴公式和转轴公式。教学重点：静矩与形心的概念；惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径的概念。教学难点：惯性矩和惯性积的平行移轴公式；惯性矩和惯性积的转轴公式。教具：多媒体。教学方法：通过例题、练习和作业，加强辅导，熟练掌握惯性矩和惯性积的平行移轴公式和转轴公式。教学内容：静矩与形心的概念；惯性矩和惯性积；惯性矩和惯性积的平行移轴公式；惯性矩和惯性积的转轴公式。教学学时：4学时教学提纲：4.1静矩和形心我们知道，构件在外力的作用下产生应力和变形，都与构件的截面形状有关。例如，在构件的轴向拉伸与压缩计算中，用到的截面面积A；在圆轴扭转计算中用到的惯性矩IP等。这些反映截面形状和尺寸性质的几何量，统称为截面的几何性质。所以在本章里，我们集中学习一下截面的其它一些几何性质（静矩、惯性矩、惯性积等）的概念和计算方法。大家在学习的过程中可以参阅一下翟振东和石晶主编的《材料力学》。4.1.1静矩（面积的一次矩）静矩，也叫静面矩或面积的一次矩。任意平面图形如图4-l所示，其面积为A。y轴和z轴为图形所在平面内的任意直角坐标轴。取微面积dA，dA的坐标分别为y和z。定义：1、微面积对坐标轴的一次矩微面积dA对y轴的一次矩为：dSy=zdA微面积dA对z轴的一次矩为：dSz=ydAzdA、ydA分别称为微面积对y轴、z轴的静矩。2、全面积对坐标轴的一次矩在截面面积内做一个各分就可以了。于是有下面的公式：AzAyAySAzSdd(4-1)图4-1Sy、Sz分别定义为平面图形对y轴和z轴的静矩（一次矩、静面矩）。公式(4-1)是一个关于静矩的定义式，它告诉我们如何去计算，当然如果知道了图形的面积，我们还是可以计算出静矩的。由公式（4-1）可见，随着坐标轴y、z选取的不同，静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲是长度的3次方。4.1.2平面图形的形心平面图形的形心简单地说也就是图形的几何中心，相关问题在这里就不在讨论了。我们在高数里学过均质薄板的质心，对于均质薄板来说，其质心与形心是重合的。如对圆来说其形心就是圆心，正方形的形形是其几何中心。设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板中间面的形状与图4-1的平面图形相同。显然，在yz坐标系中，上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标y和z。由静力学的力矩定理可知，薄板重心的坐标y和z分别是AAzZAAyyAAdd(4-2)式(4-2)就是确定平面图形的形心坐标的公式。利用式(4-1)可以把式(4-2)改写成ASyz，ASyz(4-3)所以，把平面图形对z轴和y轴的静矩，除以图形的面积A就得到图形形心的坐标y和z。把式(4-3)改写为zASy，yASz(4-4)这表明，平面图形对y轴和z轴的静矩，分别等于图形面积A乘图形形心坐标z和y。由式(4-3)和式(4-4)可以得出以下结论：若0zS和0yS，则0y和0z。可见，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。通过形心的轴称为形心轴。例图4-2中抛物线的方程为221byhz。计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩yS和zS，并确定图形的形心C的坐标。图4-2解取平行于z轴的狭长条作为微面积dA(图4-2a)，则有dy1dyd22byhzA图形的面积及对z轴的静矩分别为32d1d022bhybyhAAbA412022hbdybyyhydASbAz代入式（4-3）,得bASyz83取平行于y轴的狭长条作为微面积如图4-2b所示，仿照上述方法，即可求出1542bhSy，hz524.1.3组合图形的静矩和形心组合图形：由若干个简单图形拼揍而成的图形。简单图形：如圆形、矩形、三角形等。这些图形都有一个基本特点，就是图形的面积和形心都是已知的。当一个平面图形是由若干个简单图形(例如矩形、圆形、三角形等)组成时，由静矩的定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩，即niiizyAS1，niiiyzAS1(4-5)式中，iA和iy、iz分别表示第i个简单图形的面积及形心坐标；n为组成该平面图形的简单图形的个数。若将式(4-5)代入式(4-3)，则得组合图形形心坐标的计算公式niiniiiAyAy11，niiniiiAzAz11(4-6)例试确定图4-3所示平面图形的形心C的位置。图4-3图4-4解将图形分为Ⅰ、Ⅱ两个矩形，如图取坐标系。两个矩形的形心坐标及面积分别为矩形Ⅰ5mmmm2101y60mmmm21201z221mm1200mm12010A矩形Ⅱ5mm4mm270102y5mmmm2102z222700mmmm7010A应用式(4-6)，得形心C的坐标zy、为19.7mmmm70012004570051200212211AAyAyAy39.7mmmm70012005700601200212211AAzAzAz形心Czy、的位置，如图4-3所示。例某单臂液压机机架的横截面尺寸如图4-4所示，试确定截面形心的位置。解截面有一个垂直对称轴，其形心必然在这一对称抽上，因而只需确定形心在对称轴上的位置。把截面图形看成是由矩形ABED减去矩形abcd，并以ABED的面积为1A,abcd的面积为2A。以底边EC作为参考坐标轴y。221m204.1m86.04.1Am7.0m24.11z222m105.1m016.005.04.1016.0286.0Am717.0m05.0016.005.04.1212z由式(5-6)，整个截面图形的形心C的坐标z为m51.0m105.1204.1717.0105.17.0204.1212211AAzAzAz4.2惯性矩惯性半径4.2.1惯性矩任意平面图形如图4-5所示，其面积为A，y轴和z轴为图形所在平面内的一对任意直角坐标轴。在坐标为(y，z)处取一微面积dA，z2dA和y2dA分别称为微面积dA对y轴和z轴的惯性矩。定义：微面积的惯性矩：dIy=z2dAdIz=y2dA全面积的惯性矩：AzAydAyIdAzI22(4-7)图4-5把卡式分别定义为平面图形对y轴和z轴的惯性矩。在式(4-7)中，由于y2、z2总是正值，所以yI、zI也恒为正值。惯性矩的量纲是长度的四次方。工程上，为方便起见，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即2yyAiI2zzAiI或改写为AIiyy，AIizz式中，yi，zi分别称为图形对y轴和z轴的惯性半径，其量纲为长度。4.2.2惯性半径如下图所示，微面积dA到坐标原点的距离为定义：AAId2(4-10)为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度的四次方。由图4-6可以看出图4-6zyAAAAIIAyAzAzyAIdddd22222(4-11)所以，图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。例试计算矩形对其对称轴y和z(图4-7)的惯性矩。矩形的高为h，宽为b。解先求对y轴的惯性矩。取平行于y轴的狭长条作为微面积dA。则zbAdd12d32222bhzbzdAzIAhhy用完全相同的方法可以求得图4-7123hbIz若图形是高为h宽为b的平行四边形(图4-8)，它对形心轴y的惯性矩仍然是123bhIy。图4-8图4-9例计算圆形对其形心轴的惯性矩。解取dA为图4-9中的阴影部分的面积，则zzRzyAd2d2d22644d2442222DRzzRzdAzIARRyz轴和y轴都与圆的直径重合，由于对称性，必然有644DIIzy由公式(4-11)，显然可以求得324DIIIzy式中I是圆形对圆心的极惯性矩。这里又得出与上一章圆轴扭转时相同的结论。对于图4-10所示的环形图形，由上一章内容可知4432dDI又由公式(4-11)并根据图形的对称性图4-10446421dDIIIzy4.2.3组合图形的惯性矩根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为niiyzyzniizzniiyyIIIIII111(4-13)式中，iyI、izI、iyzI分别为第i个简单图形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积。例如可以把图4-10所示环形图形，看作是由直径为D的实心圆减去直径为d的圆，由式（4-13），并应用例4-5所得结果即可求得4464dDIIzy例两圆直径均为d，而且相切于矩形之内，如图4-11所示。试求阴影部分对y铀的惯性矩。图4-11解阴影部分对y轴的惯性矩yI等于矩形对y轴的惯性矩1yI减去两个圆形对y轴的惯性矩2yI。6122431dddIy32642442ddIy故得96316421dIIIyyyz0AyCdAzyyCCzbaCzyC4.3惯性积在图4-5所示的平面图形中，定义yzdA为微面积dA对y轴和z轴的惯性积。而积分式AyzAyIzd(5-12)定义为图形对y、z轴的惯性积。惯性积的量纲为长度的四次方。由于坐标乘积职y、z可能为正或负，因此，yzI的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。若坐标轴y或z中有一个是图形的对称袖，例如图4-12中的z轴。这时，如在z轴两侧的对称位置处，各取一微面积dA，显然，两者的z坐标相同，y坐标则数值相等而符号相反。因而两个微面积的惯性积数值相等，而符号相反，它们在积分中相互抵消，最后导致0zdAyzAyI所以，两个坐标轴中只要有一个轴为图形的对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零。图4-124.4平行移轴公式同一平面图形对于平行的两对不同坐标轴的惯性矩或惯性积虽然不同，但当其中一对轴是图形的形心轴时，它们之间却存在着比较简单的关系。在图4-13中，设平面图形的面积为A，图形形心C在任一坐标系yz中的坐标为(b，a)，cy、cz轴为图形的形心轴并分别与y、z轴平行。取微面积dA，其在两标系中的坐标分别为y、z及yc、zc，。由图4—13可见byyc，azzc(a)平面图形对于形心轴yc、zc的惯性矩及惯性积为图4-13AccAczAcyAzyAyIAzIcccdIddzcy22(b)平面图形对于y、z轴的惯性矩及惯性积为AAcAcAcAyAaAzaAzdAazAzIdd2dd2222AAcAcAcAzAbAybAydAbyAyIdd2dd2222AAcAcAccAccAyzAabAzbAyaAzydAazbyAyzIddddd上三式中的AcAzd及AcAyd分别为图形对形心轴cy和cz的静矩，其值等于零。AAAd。再应用式(b)，则上三式简化为abAIIAbIIAaIIcccczyyzzzyy22(4-14)式(4-14)即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。在使用这一公式时，要注意到y和z是图形的形心在yz坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。利用平行移轴公式可使惯性矩和惯性积的计算得到简化。例试计算图4-14所示图形对其形心轴yc的惯性矩cyI。图4-14图4-15解把图形看作由两个矩形I