控制工程基础(基于Matlab的线性系统串联校正)

机械控制工程基础实验---基于Matlab的线性系统串联校正2014年12月20日学院：机械学院年级：2012级班级：机电X班姓名:XXX学号：xxxxxxx指导教师：XXX线性系统串联校正一、实验目的1．熟练掌握用MATLAB语句绘制频域曲线。2．掌握控制系统频域范围内的分析校正方法。3．掌握用频率特性法进行串联校正设计的思路和步骤。二、基础知识控制系统设计的思路之一就是在原系统特性的基础上，对原特性加以校正，使之达到要求的性能指标。最常用的经典校正方法有根轨迹法和频域法。而常用的串联校正装置有超前校正、滞后校正和超前滞后校正装置。本实验主要讨论在MATLAB环境下进行串联校正设计。1．基于频率法的串联超前校正超前校正装置的主要作用是通过其相位超前效应来改变频率响应曲线的形状，产生足够大的相位超前角，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。因此校正时应使校正装置的最大超前相位角出现在校正后系统的开环截止频率c处。例6-1：单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=𝟒𝑲𝒔(𝒔+𝟐)，若要使系统单位速度输入下的稳态误差ess=0.05,相位裕量Kg(dB)不小于10dB，试求系统的校正装置。根据系统静态精度的要求，确定K值：ess=lim𝑠→0𝑠11+𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)1𝑠2=1lim𝑠→0𝑠4𝐾𝑠(s+2)=12𝐾=0.05所以K=10时，系统可满足精度要求，此时开环传递函数为G(s)=40𝑠(𝑠+2)=20𝑠(0.5𝑠+1)。计算原系统的相角裕度。Matlab程序：num0=20;den0=[0.5,1,0];w=0.1:1000;margin(num0,den0)%绘制出原系统Bode图grid;[mag1,phase1]=bode(num0,den0,w);%系统幅相频特性[gm1,pm1,wcg1,wcp1]=margin(num0,den0);%计算系统的相角裕度和幅值裕度[gm1,pm1,wcg1,wcp1]ans=Inf17.9642Inf6.1685原系统bode图由结果可知，原系统相角裕度𝛾=18°，𝜔𝑐=6.2𝑟𝑎𝑑/𝑠，不满足指标要求，系统的Bode图如上图所示。为了使相对稳定性符合要求，不减小K的情况下满足𝛾50°，需要增加相位超前校正装置，其相位超前角应为32°。但这将影响到幅值交界频率向右移，在新的幅值交界频率出对应的相位裕量就会小于50°，因此在确定补偿角度时再增加6°，来抵消这一影响造成的相角滞后量。取校正装置的最大超前角𝜑𝑚=38°。确定衰减系数α：因为sin𝜑𝑚=(1-α)/(1+α)，所以α=1−sin𝜑𝑚1+sin𝜑𝑚=0.24。确定超前装置的两个转折频率𝟏𝑻和𝟏𝜶𝑻：在c=𝟏√𝜶𝑻处，超前装置引起的幅值变化量应为|1+𝑗𝑤𝑇1+𝑗𝑤𝛼𝑇|𝜔=1√𝛼𝑇⁄=𝟏√𝜶用分贝表示为20lg𝟏√𝜶dB=6.2dB(这个幅值的变化未计入超前校正引起的幅值衰减部分)，在|𝐺（jw）|=-6.2dB处的频率ω=9𝑠−1，让这个频率对应最大相位超前角，那么当超前校正装置加上以后，频率为ω=9𝑠−1的地方幅值为0dB，即为校正后的幅值交界频率𝜔𝑐，同时在这里相角增加38°。由于𝜔𝑐=9𝑠−1这一频率对应于校正装置的𝜔𝑚=𝟏√𝜶𝑻，因此：𝟏𝑻=√𝜶𝜔𝑐=4.41s-1，T=0.227s𝟏𝜶𝑻=𝜔𝑐√𝜶=18.4s-1,𝜶𝑻=𝟎.𝟎𝟓𝟒𝒔则可得超前校正环节为Gc(s)=α𝑇𝑠+1𝛼𝑇𝑠+1=0.240.227𝑠+10.054𝑠+1为了补偿超前校正造成的幅值衰减，须将放大器的增益提高2/0.24=8.34倍，这样得到校正装置的传递函数为Gc(s)=0.227𝑠+10.054𝑠+1校正后系统的开环传递函数为：Gc(s)G(s)=0.227𝑠+10.054𝑠+140𝑠(𝑠+2)Matlab程序：num0=20;den0=[0.510];numc=[0.2271];denc=[0.0541];[num,den]=series(num0,den0,numc,denc);printsys(num,den)4.54s+20--------------------------0.027s^3+0.554s^2+s[gm0,pm0,wcg0,wcp0]=margin(num0,den0);[gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den);[mag0,phase0]=bode(num0,den0,w);[magc,phasec]=bode(numc,denc,w);[mag,phase]=bode(num,den,w);margin(num0,den0);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag0),'--',w,20*log10(magc),'-.');gridylabel('幅值(db)');title('--Go,-Gc,GoGc');subplot(2,1,2);semilogx(w,phase,w,phase0,'--',w,phasec,'-',w,(w-180-w),':');gridylabel('相位(0)');xlabel('频率(rad/sec)');title(['校正前：幅值裕量=',num2str(20*log10(gm0)),'dB','相位裕量=',num2str(pm0),'0';'校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(gm)),'dB','相位裕量=',num2str(pm),'0']);校正环节bode图系统校正前后bode图2．基于频率法的串联滞后校正滞后校正装置将给系统带来滞后相角。引入滞后装置的真正目的不是为了提供一个滞后相角，而是要使系统增益适当衰减，以便提高系统的稳态精度。滞后校正的设计主要是利用它的高频衰减作用，降低系统的截止频率，以便能使得系统获得充分的相位裕量。例6-2：系统的开环传递函数为𝐆(𝐬)=𝑲𝒔(𝒔+𝟏)(𝟎.𝟓𝒔+𝟏)，要求校正后单位速度输入的稳态误差为ess=0.2，相位裕量不小于40°，幅值裕量不低于10dB。解：根据系统静态精度的要求确定系统的开环增益K。对于I型系统，单位反馈的速度误差ess=1/K，所以K=1/ess=5由已经确定的开环增益，计算系统相位裕量、幅值裕量，画出系统bode图：Matlab程序：num0=5;den0=conv([1,0],conv([1,1],[0.5,1]));[gm0,pm0,wcg0,wcp0]=margin(num0,den0);[gm0,pm0,wcg0,wcp0]ans=0.6000-12.99191.41421.8020margin(num0,den0)grid;由结果可知，系统的相位裕量γ=13°，原系统不稳定,系统的Bode图如下图所示，考虑采用串联超前校正无法满足要求，故选用滞后校正装置。原系统bode图从图上可以得出未校正时与40°相位裕量所对应的频率是ω=0.63𝑠−1,所以校正后的幅值交界频率应选在这一数字附近。为了防止滞后网络的时间常数过大，取ω=0.1𝑠−1，则T=10s.考虑到滞后网络的相位滞后因素，需要在给定的相位裕量数值上再增加一个适当的角度，我们增加12°，这样需要的相位裕量为52°，这个值在未校正的对数幅频曲线上找到-128°所对应的频率是0.47𝑠−1，并以此作为新的幅值交界频率𝜔𝑐。从图上可得，要使得在这一点的幅值下降到0dB，滞后网络应产生必要的衰减量，使幅频曲线在这里下降19.4dB。因此20lg1𝛽=-19.4dBβ=9.3滞后网络的另一个转折频率为ω=1/(βT)，即1𝛽𝑇≈0.1rad/sβT=100sT=10s由此可得到滞后网络的传递函数为Gc(s)=10𝑠+1100𝑠+1校正后系统的开环传递函数为Gc(s)G(s)=5(10𝑠+1)𝑠(100𝑠+1)(𝑠+1)(0.5𝑠+1)Matlab程序：num0=5;den0=conv([1,0],conv([1,1],[0.5,1]));numc=[10,1];denc=[100,1];[num,den]=series(num0,den0,numc,denc);%原系统与校正装置串联[gm0,pm0,wcg0,wcp0]=margin(num,den);%返回原系统的相角裕度和幅值裕度[gm,pm,wcg,wcp]=margin(num,den);%返回系统新的相角裕度和幅值裕度printsys(numc,denc)%显示校正装置的传递函数num/den=10s+1---------100s+1printsys(num,den)%显示系统新的传递函数num/den=50s+5-----------------------------------50s^4+150.5s^3+101.5s^2+s[mag0,phase0]=bode(num0,den0,w);%计算指定频率内原系统的相角范围和幅值范围[magc,phasec]=bode(numc,denc,w);%计算指定频率内校正装置的相角范围和幅值范围[mag,phase]=bode(num,den,w);%计算指定频率内校正后系统的相角范围和幅值范围subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag0),w,20*log10(magc),'--',w,20*log10(mag),'-.');grid;ylabel('幅值(db)');title('--Go,-Gc,GoGc');subplot(2,1,2);semilogx(w,phase0,w,phasec,'--',w,phase,'-',w,(w-180-w),':');grid;ylabel('相位(0)');xlabel('频率(rad/sec)');title(['校正前：幅值裕量=',num2str(20*log10(gm0)),'dB','相位裕量=',num2str(pm0),'0';'校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(gm)),'dB','相位裕量=',num2str(pm),'0']);系统校正前后bode图3．基于频率法的串联滞后-超前校正滞后-超前校正装置综合了超前校正和滞后校正的优点，从而改善了系统的性能。例6-3：单位反馈系统的开环传递函数为𝐆(𝐬)=𝑲𝒔(𝒔+𝟏)(𝒔+𝟐)，要求单位速度输入下稳态误差为0.1，相位裕量等于50°，幅值裕量不小于10dB，试设计滞后—超前校正装置。解：根据系统静态精度的要求，选择开环增益ess=lim𝑠→0𝑠11+𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)1𝑠2=1lim𝑠→0𝐾(𝑠+1)(𝑠+2)=0.1K=20则未校正系统的传递函数为：G(s)=10𝑠(𝑠+1)(0.5𝑠+1)，由所确定的系统传递函数，计算稳定裕量，绘出系统的开环bode图：Matlab程序：num0=10;den0=conv([1,0],conv([1,1],[0.5,1]));[gm0,pm0,wcg0,wcp0]=margin(num0,den0);[gm0,pm0,wcg0,wcp0]ans=0.3000-28.08141.41422.4253margin(num0,den0);grid;由结果可以看出，原系统相位裕量为负值（γ=−28°），系统不稳定。原系统bode图选择新的幅值交界频率。从校正前的相