高中文科数学-不等式

第五讲、不等式十三、不等式（一）不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。（二）一元二次不等式1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。3.会解一元二次不等式。（三）二元一次不等式组与简单线性规划问题1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。（四）基本不等式：(,0)2ababab会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。不等式的概念与性质1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：0baba0baba0baba2．不等式的性质：（1）abba，abba（反对称性）（2）cacbba,，cacbba,（传递性）（3）cbcaba，故bcacba（移项法则）推论：dbcadcba,（同向不等式相加）（4）bcaccba0,，bcaccba0,推论1：bdacdcba0,0推论2：nnbaba0推论3：nnbaba0算术平均数与几何平均数1．常用的基本不等式和重要的不等式（1）0,0,2aaRa当且仅当”取“,0a（2）abbaRba2,,22则（3）Rba,，则abba2（4）222)2(2baba2新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆最值定理:设xyyxyx2,0.,由（1）如积PyxPxy2(有最小值定值），则积（2）如积22(）有最大值（定值），则积SxySyx即:积定和最小，和定积最大新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆3新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆均值不等式:两个正数的均值不等式：abba2三个正数的均值不等是：33abccban个正数的均值不等式：nnnaaanaaa21214新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆四种均值的关系：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222babaabba不等式的证明不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：BABA0作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）综合法：由因导果新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（3）分析法：执果索因新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（4）反证法：正难则反新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(；②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn④利用常用结论：Ⅰ、kkkkk21111；Ⅱ、kkkkk111)1(112；111)1(112kkkkk（程度大）Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如：已知222ayx，可设sin,cosayax；已知122yx，可设sin,cosryrx(10r)；已知12222byax，可设sin,cosbyax；已知12222byax，可设tan,secbyax；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解(7)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．(9)当a＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a1logf(x)logg(x)f(x)g(x)f(x)0aa当＞时，＞与＞＞同解．当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a1logf(x)logg(x)f(x)g(x)f(x)0g(x)0aa4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：①形式：分母）移项，通分（不轻易去0)()(xQxP新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆②首项系数符号0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆③判断或比较根的大小新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆绝对值不等式1．解绝对值不等式的基本思想:解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆2．注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆|