湖北省黄冈、华师附中等八校2019届高三上学期第一次联考数学(理)试题

2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.D.3.设，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A.1B.3C.4D.95.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A.31B.34C.62D.596.下列有关命题的说法正确的是（）A.，使得成立．B.命题：任意，都有，则：存在，使得．C.命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D.若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A.的面积是B.内的点到轴的距离有最大值C.点在内时，D.若点，则8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A.B.C.D.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A.B.C.D.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A.3B.4C.5D.611.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A.B.C.D.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则________．14.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为．若，则__________．15.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为____________．（结果用区间．．表示）16.已知各项均为正数的两个无穷数列和满足：，且是等比数列，给定以下四个结论：①数列的所有项都不大于；②数列的所有项都大于；③数列的公比等于；④数列一定是等比数列。其中正确结论的序号是____________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图所示，在中，已知点在边上，且，，.（1）若，求的值；（2）若，求边上的中线的长.18.如图所示，四棱锥中，，四边形为等腰梯形，,为的中点．（1）求证：．（2）求面与平面所成的二面角的正弦值．19.首届中国国际进口博览会于2018年11月5日至10日在上海的国家会展中心举办.国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场.已知该产品年固定研发成本30万美元，每生产一台需另投入90美元.设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万美元,（1）写出年利润（万美元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.20.已知点，的两顶点，且点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设，求动点的轨迹方程；（3）过点的动直线与曲线交于不同两点，过点作轴垂线，试判断直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由．21.已知函数，不等式对恒成立.（1）求函数的极值和实数的值；（2）已知函数，，其中为自然对数的底数.若存在，使得，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4－4，极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角．选修4-5：不等式选讲23.选修4－5，不等式选讲已知函数．（1）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求不等式的解集．2019届高三第一次联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合A中绝对值不等式的解集，再求的集合B中函数的值域，最后取它们的交集.【详解】对于集合A，或，对于集合B，由于，所以.所以.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查集合的研究对象，考查绝对值不等式的解法等知识，属于基础题.含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边，小于在中间”，即的解是，的解是或.在研究一个集合时，要注意集合的研究对象，如本题中集合B，研究对象是函数的值域.2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数除法的运算化简复数，然后求得其虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法和乘法运算，考查复数实部和虚部的识别，属于基础题.3.设，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先确定，然后将利用对数的运算，求得，从而得到的大小关系.【详解】由于，所以为三个数中最大的.由于，而，故.综上所述，故选C.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小.解决的方法是区间分段法，如本题中的“和”作为分段的分段点.在题目给定的三个数中，有一个是大于的，有一个是介于和之间的，还有一个是小于的，由此判断出三个数的大小关系.在比较过程中，还用到了对数和指数函数的性质.4.设函数，若角的终边经过点，则的值为（）A.1B.3C.4D.9【答案】B【解析】【分析】先根据角的终边经过的点，求得的值，然后代入函数的解析式，求得对应的函数值.【详解】由于角的终边经过点，故，故，.故选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查复合函数求值以及分段函数求值，属于基础题.5.已知公差不为的等差数列的首项，且成等比数列，数列的前项和满足，数列满足，则数列的前项和为（）A.31B.34C.62D.59【答案】B【解析】【分析】利用基本元的思想求得的通项公式，利用求得的通项公式.再利用列举法求得的前项和.【详解】由于成等比数列，故，即，由于，解得，故.当时，，当时，，故.故的前项和为，故选B.【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查已知求的方法，考查数列求和等知识，属于中档题.要求数列的通项公式，如果已知数列为等差或者等比数列，则将已知条件转化为或者的形式，通过解方程组求得这几个量来求得通项公式.6.下列有关命题的说法正确的是（）A.，使得成立．B.命题：任意，都有，则：存在，使得．C.命题“若且，则且”的逆命题为真命题．D.若数列是等比数列，则是的必要不充分条件．【答案】D【解析】【分析】对于A选项，方程无解，由此判断命题不成立.对于B选项，用全称命题的否定是特称命题来判断是否正确.对于C选项，写出逆命题后判断命题是否为真命题.对于D选项，利用等比数列的性质，并举特殊值来判断命题是否为真命题.【详解】由，得，其判别式，此方程无解，故A选项错误.对于B选项，全称命题的否定是特称命题，应改为，故B选项错误.对于C选项，原命题的逆命题是“若且，则且”，如，满足且但不满足且，所以为假命题.对于D选项，若，为等比数列，，但；另一方面，根据等比数列的性质，若，则.所以是的必要不充分条件.故选D.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的概念，考查命题真假性的判断，考查等比数列的性质以及充要条件的判断.属于中档题.7.设不等式组表示的平面区域为，则（）A.的面积是B.内的点到轴的距离有最大值C.点在内时，D.若点，则【答案】C【解析】【分析】画出可行域，通过求出可行域的面积、可行域内点到轴的距离、可行域内点和连线的斜率的范围、通过特殊点判断的值是否为，根据四个结果判断四个选项的正误.【详解】画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故两个选项错误.注意到在可行域内，而，故D选项错误.有图可知，可行域内的点和连线的斜率比的斜率要小，故C选项正确.所以选C.【点睛】本小题主要考查线性规划的问题，考查方向有可行域的面积，点到直线的距离，两点连线的斜率还有特殊点等几个方向.属于基础题.8.将向量列，，…，组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列.若，，则下列向量中与向量垂直的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用等和向量列的概念，求出，归纳出规律，由此求得的值，通过向量数量积为零验证出正确选项.【详解】根据等和向量列的概念，，故，，故奇数项都为，偶数项都为.故.注意到可知，C选项正确.故选C.【点睛】本小题考查对新定义的理解和运用，采用的方法是通过列举法找到规律，然后利用这个规律来求和.属于基础题.9.函数的定义域为，且，对任意，在上是增函数，则函数的图象可以是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对于四个选项，举出对应的具体函数，然后利用函数的单调性验证是否在上递增，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，取，则，由于，故，故为增函数，符合题意.对于B选项，取，则，由于，故为减函数，不符合题意.对于C选项，取，则，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D选项，取，则，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A.【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10.已知函数，若函数的零点都在区间内，当取最小值时，等于（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】先求得函数是单调递增函数，并用零点存在性定理求得函数零点所在的区间，零点向右移个单位后得到的零点，由此求得的最小值，最后求定积分即可得出选项.【详解】依题意，化简为，可知，当时，，且当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内.故.故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，考查函数图像平移变换，以及定积分的有关计算，还考查了等比数列求和公式，综合性很强，属于难题.函数求导后，是一个有规律的式子，类似于等比数列，但要注意的是，要考虑公比是否为，公比不为时可利用等比数列前项和公式求和.11.已知同时满足下列三个条件：①时最小值为，②是奇函数，③．若在上没有最大值，则实数的范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】条件①表示函数的半周期为，由此求得的值.条件②③可以求出的值，求得函数解析式后，结合函数图像可求得的取值范围.【详解】由于函数的最大值为，最小值为，故条件①表示函数的半周期为，周期为，故.故，根据条件②，有是奇函数，故，.根据条件③，，即，故为偶数，不妨设，由此求得函数的表达式为.画出图像如下图所示，，由图可知，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据已知条件求类型三角函数的解析式，考查三角函数的图像与性质，属于中档题.12.已知函数，在函数图象上任取两点，若直线的斜率的绝对值都不小于5，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将已知“直线的斜率的绝对值都不小于”，去绝对值.然后构造函数，利用导数求得函数的单调区间，利用一元二次不等式恒成立问题的解法，求得的取值范围.【详解】，在单调递减.，，.设，则.设，