磁场能量课件

第3章恒定磁场3.1安培力定律磁感应强度3.2矢量磁位3.3真空中的安培环路定律3.4介质中恒定磁场的基本方程3.5恒定磁场的边界条件3.6电感3.7磁场能量与磁场力3.1安培力定律磁感应强度安培力定律指出:在真空中载有恒定电流的回路对另一载有恒定电流的回路的作用力为2121122012)(4CCRRdIdIellF一、安培力定律二、磁感应强度用场的观点解释安培力定律可认为电流回路之间的相互作用力是通过磁场来传递的。将上式改写为式中，括号内的量值都与电流回路有关，而与电流回路无关，可定义称为毕奥-沙伐定理。期中B是描述磁场的物理量，称为磁感应强度，或磁通密度，单位为特斯拉（T）或韦伯每平方米。)4(2121102212CCRRdIdIellF1C2C1211014CRRdIelB注意：（1）物理意义；（2）与磁场强度的区别。101124RCIdRelB')'(4)('20dVRVRerJrB（体电流）')'(4)('20dSRSRSerJrB（线电流回路）（面电流）【例】计算长为、通有电流的细直导线外任一点处的磁感应强度。【解】选用圆柱坐标系，场源电流与坐标无关，场量B也不会是的函数。取场点为；源点为。则2lI),0,(zr)',0,0(zzrzzreerrR)'('zrRRzzRrReeRe)'(''dzdzeleel''dzRrdR根据线电流的毕奥-沙伐公式得引入积分变量，令当时，，，故无限长细直导线外任一点处的磁感应强度为llCRRdzIrRId30'20'4'4eelBcot'rzzdrdz2csc'cscrReeB)cos(cos4sin4210021rIdrIl01202IrBe3.2矢量磁位一、磁感应强度的散度磁场的散度由毕奥-沙伐定理导出由矢量恒等式')'(4)('20dVRVRerJrB')1()'(4'0dVRVrJAAA)(得是源点坐标的函数，上式变为两边同时取散度旋度的散度恒为零，所以'0'0')'(14')'(4)(VVdVRdVRrJrJrB)'(rJ0)'(rJ'0'0')'(4')'(4)(VVdVRdVRrJrJrB'0')'(4)(VdVRrJrB0)(rB二、磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为磁通量（或磁通），用表示：若S是闭合曲面，则根据高斯散度定理，有磁场是无散场，即：SdSBSBdSdVdVSBSB0)(rB0SBdS上式表明：磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通是连续的，磁场线总是闭合曲线。称为磁通连续性原理。磁通连续性原理是磁场的一个基本特征三、矢量磁位1.矢量磁位的定义简化磁场问题的途径：用一个矢量的旋度来代替磁感应强度。因为矢量旋度的散度恒为零，故可以令称为矢量磁位，矢量磁位是一个没有物理意义的辅助函数。ABA上式仅仅规定了矢量磁位A的旋度，其散度是不确定的，可以任意假定。指定一个矢量磁位的散度，称为一种规范。在恒定磁场中，我们规定上式称为库仑规范。此时，矢量磁位A被唯一地确定。0A2.矢量磁位的积分表达式体电流的磁感应强度体电流矢量磁位积分表达式面电流和线电流矢量磁位的积分表达式面电流线电流ArJrB'0')'(4)(VdVR'0')'(4)(VdVRrJrA'0')'(4)(SSdSRrJrA'0'4)(lRdIlrA【例】计算半径为a的小圆环电流产生的磁感应强度。【解】选择球坐标系，小圆环如图放置。在的平面两边取两个电流元，它们在场点的矢量磁位都与各自的方向一致，叠加后的合成矢量只有方向的分量，有0eRIdd4'0lAel''add'2'cos'cos20dRIadAdA''cos200dRIaA其中将上式展开为泰勒级数，取前两项，得所以222NMPNRcosrPN'cos)sin(2)sin(222raraNM'cos)sin(2)sin()cos(222rararR22'cossin21rarar)'cossin1(11rarR''cos)'cossin1(200drarIaAsin4220rIa若令为小圆环面积，为圆环电流的磁矩（也称为磁偶极矩），则小圆环电流的矢量磁位为小圆环电流的远区场为将上式与电偶极子的远区场相比较，可发现两者是非常相似的。因此小圆环电流也被称为磁偶极子。2aSSpIm20204sin4rrSIRmepeA)sincos2(430eeABrrIS3.3真空中的安培环路定律一、恒定磁场的旋度根据毕奥-沙伐定理两边同时取旋度，有根据矢量恒等式得')'(4)('20dVRVRerJrBAAA2)('20'0')'(4)')'((4)(VVdVRdVRrJrJrB')'(4)('20dVRVRerJrB对方程右边第一项用高斯散度定理进行变换，第二项中：方程右边可变换为在导体表面上，电流密度总是与面的法线垂直，故它们的点乘积恒为零，即：因此方程右边第一项恒为零。所以'20'0')1()'(4')'(4VVdVRdVRrJrJ)'(4)1(2rrR'0'0')'()'(')'(4)(vSdVdRrrrJSrJrB0')'(SrJd场点时，电流密度：两种情况合写为严格证法参看谢处方版106~107页'0')'()'()(vdVrrrJrB0)(0rJ外在'Vr0)(rJ)()(0rJrB磁场是有旋场，而非保守场，它存在旋涡源，它是由电流产生的。二、真空中的安培环路定律在磁场中任取一闭合回路C，其所包围的曲面为S，则有即I的正方向与路径C的绕向符合右手定律，称为真空中的安培环路定律。表明在真空中，磁感应强度沿任一闭合回路C的环量等于与回路C相交链的总电流的倍。IdddSSC00SJSBlBIdC0lB0【例3】半径为a的无限长直导体通有轴向电流：试计算导体内、外的磁感应强度。【解】场源电流与无关，所以磁感应强度关于z轴圆对称，只要选择同心圆积分回路，则在积分回路上只存在B的切向分量，且数值相等。（1）导体外)(342arrrJzz、SCddSJlB0CardrrrdlB0202)34()(22340aarBeB)(340aar（2）导体内SCddSJlBCrrdrrrdlB022)34()(2234rrrBeB)(23rr3.4介质中恒定磁场的基本方程一、介质的磁化1.介质的磁化磁介质在磁场中要被磁化，形成磁偶极子。磁偶极子产生的磁场会使原磁场发生改变。电子的自旋和轨道运动都会形成微观的圆电流，相当于一个磁偶极子，具有一定的磁矩。a.没有外磁场情况下，分子的热运动使磁矩的方向是随机的。总的磁矩之和为零，对外不呈磁性。b.外界存在磁场时，分子磁矩会在磁力的作用下取向排列，总磁矩不再为零，这种现象就称为物质的磁化。2.磁化强度磁化强度矢量：磁化介质中单位体积内的总的分子磁矩，即磁化强度单位：安培每米（）。若是体积中的平均磁矩，N是分子密度，则磁化强度也可表示为VmVPM0limmAmpVmNpM3.磁化电流分子的磁矩来源于分子中的电荷运动，对应的电流称为分子电流。介质中的电子运动不能脱离原子核的束缚，故分子电流为束缚电流。磁介质（磁偶极子）的作用可以用等效的磁化电流来代替，即磁化电流产生的磁场等效于所有的磁偶极子产生的磁场的总和。等效的体磁化电流和面磁化电流分别为：其中，n是介质表面的外法向。（谢版117页）MJmnMJsm二、介质中的安培环路定律在有介质的情况下，由于介质内部存在磁化电流，将真空中的安培环路定律修正为因为上式改为令H称为磁场强度，单位：安培每米（）。有00()()mmCSdIIIdBlJSCSSmdddlMSMSJCIdlMB)(0MBH0mA/CIdlH上式为介质中安培环路定律的积分形式利用斯托克斯定律有由于积分路径是任意的，所以有上式为介质中安培环路定律的微分形式对于各向同性的、线性的均匀介质，其磁化强度M与磁场强度H成正比，即是介质的磁化率，是一个无量纲常数。所以SCSdIddSJSHlHJHHMmHHHHMB00rm0)1()(m三、介质中恒定磁场的基本方程积分形式微分形式本构关系Sd0SBCIdlH0BJHHB矢量磁位的微分方程在均匀介质中，将代入中，得根据矢量恒等式,有若采用库仑规范，则，所以有为矢量泊松方程无源区域（），有为矢量拉普拉斯方程ABJBJAJAA2)(0AJA20J02A四、标量磁位1.标量磁位的定义恒定磁场是一个有旋场。一般情况下不能用标量函数的梯度来描述。在自由电流等于零的区域内，磁场强度的旋度等于零，即：。此时磁场强度可以用一个标量函数的梯度来表示。在的区域，令为标量磁位。0H0JmHm在均匀介质中，将代入式中，可得到标量磁位的拉普拉斯方程求解标量磁位的拉普拉斯方程比求解矢量拉普拉斯方程要简单的多，但它只适用于无源空间。2.标量磁位的多值性如静电场一样，定义磁场中任意两点A、B之间的磁压mH0B02mmBmABAmABdUlH若令B点为零磁位，则A点的磁位会因积分路径的不同而数值不同，它们之间相差一个常数，即标量磁位具有多值性。m图3-6标量磁位的多值性主要原因：积分路径与电流回路相交链的结果，故要消除的有多值性，应规定所选的积分路径不能与电流回路相交链。当然，标量磁位的有多值性并不影响磁场强度H的计算。3.5恒定磁场的边界条件磁介质表面一般存在束缚电流，它的存在使B和H在通过界面时将发生突变。变化规律称为恒定磁场的边界条件。一、法向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与分界面垂直，且侧高趋于零，如图3-7。对此闭合面应用积分形式的磁通连续性原理，得或写成矢量形式表明：磁感应强度的法向分量在介质分界面是连续的。法向边界条件亦可用矢量磁位来表示021SBSBnnnnBB2121AnAnnBnB21二、切向边界条件在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回路。长边分居界面两侧，并与界面平行，短边趋于零，且与界面垂直。由安培环路定律的积分形式写成矢量形式H1H2lhet图3-8切向边界条件lJlHlHStt21SttJHH21SJHHn)(21当分界面上没有自由电流时，有或(1)磁场强度的切向分量在分界面上是连续的。用矢量磁位表示(2)在介质分界面不存在自由电流时，设分界面两侧的磁场线与法线n的夹角为和，可得ttHH2121HnHn)1()1(2211AnAn121221112212ta