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2020中考数学培优专题:二次函数与圆综合(含答案)例题1.在平面直角坐标系xOy中,抛物线2yaxbxc与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(3,0),若将经过A、C两点的直线ykx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线2x.(1)求直线AC及抛物线的函数表达式;(2)如果P是线段AC上的一点,设三角形ABP、三角形BPC的面积分别为ABPS△、BPCS△,且2:3ABPBPCSS△△:,求点P的坐标;(3)设Q的半径为1,圆心Q在抛物线上运动,则在运动的过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:若设Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,Q与两坐标轴同时相切?【答案】(1)因为ykx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点,所以3b,(0,3)C,将(3,0)A代入3ykx,得330k,解得1k.所以直线AC为:3yx+因为抛物线的对称轴是直线2x,所以930222abccba,解得143abc.所以抛物线的函数表达式为:243yxx.(2)如图,过点B作BDAC于点D.因为:2:3ABPBPCSS△△,所以:2:3APPC.过点P作PEx轴于点E,则PE//CO,所以APEACO△∽△.所以25PEAPCOAC.所以2655PEOC.所以635=x,解得95x.所以点P的坐标为96,55.(3)存在,设点Q的坐标为00(,)xy①当Q与y轴相切时,有01x,即01x.11yxO当01x时,得20(1)4(1)30y,所以1(1,0)Q.当01x时,得2014138y,所以2(1,8)Q,②当Q与x轴相切时,有01y,即01y,当01y时,得200143xx,即200440xx,解得02x,所以3(2,1)Q当01y时,得200143xx,即200420xx,解得022x,所以4(22,1)Q,5(22,1)Q综上所述,存在符合条件的Q,其圆心Q的坐标分别为1(1,0)Q,2(1,8)Q,3(2,1)Q,4(22,1)Q,5(22,1)Q探究:设点Q的坐标为00(,)xy.当Q与两坐标同时轴相切时,有00yx.①当00yx时,得200043xxx,即200330xx,此时0△,所以次方程无解.②当00yx时,得200043xxx,即200530xx.解得05132x.∴当Q的半径为051351322rx时,Q与两坐标同时轴相切.例题2.在平面直角坐标系中,抛物线经过(0,0)O、(4,0)A、233,3B三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)以OA的中点M为圆心,OM的长为半径作M,在(1)中的抛物线上是否存在这样的点P,过点P作M的切线l,且l与x轴的夹角为30?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果保留根号)【答案】(1)设抛物线的解析式为2yaxbxc,11Oyx由题意,得0164023933cabcabc,解得2398390abc.所以抛物线的解析式为2238399yxx.(2)存在,抛物线2223832383(2)9999yxxx所以抛物线的顶点为832,9,作抛物线和M(如图)设满足条件的切线l与x轴交于点B,与M相切于点C.连接MC,过点C作CDx轴于点D.因为2MCOM,30CBM,CMBC,所以90BCM,60BMC,24BMCM.所以2OB,所以(2,0)B.在RtCDM△中,9030DCMCMD,2CM.所以1DM,3CD.所以(1,3)C.设切线l的解析式为y=kx+b,则可得320kbkb,解得33233kb.所以切线BC的解析式为32333y=x+.由题意223839932333yxxy=x+,解得111232xy,226833xy.所以点P的坐标为113,22P、2836,3P.因为抛物线和M都关于直线2x对称,则存在切线l关于2x对称的直线'l也满足条件.同样得到满足的点P关于1P和2P对称,则得到393,22P、4832,3P.综上所述,这样的点P共有4个,113,22P、2836,3P、393,22P、4832,3P.例题3.如图,抛物线2134yxx与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,顶点为点D,对称轴l与直线BC交于点E,与x轴交于点F.(1)求直线BC的解析式.(2)设点P为该抛物线上的一个动点,以点P为圆心、r为半径作P⊙.①当点P运动到点D时,若P⊙与直线BC相交,求r的取值范围;②若455r,是否存在点P使P⊙与直线BC相切?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线2134yxx中,令0y,得21034xx,解得12x,26x;令0x,得3y;∴(2,0)A,(6,0)B,(0,3)C;设直线BC的解析式为ykxb,则有:603kbb,解得123kb,∴直线BC的解析式为:132yx;(2)(2,4)D,(2,2)E;∴2EFDE,4BF;①过D作DGBC于G,则DEGBEF△∽△;∴::2:1DEGEBFEF,即2DGGE;RtDGE△中,设GEx,则2DGx,由勾股定理,得:222GEDGDE,即:2244xx,解得255x;∴4525DGx;故D、P重合时,若P⊙与直线BC相交,则rDG,即455r;②存在符合条件的P点,且P点坐标为:1(2,4)P,2(4,3)P,3117317,2P,4117317,2P;过点F作FMBC于M;∵2DEEF,则RtRtDGEFME△≌△;∴455FMDGr;分别过D、F作直线m、n平行于直线BC,则直线m与直线BC、直线n与直线BC之间的距离都等于x;所以P点必为直线m、n与抛物线的交点;设直线m的解析式为:yaxh,由于直线m与直线m与直线BC平行,则12a;∴1242h,5h,即直线m的解析式为152yx;同理可求得直线x的解析式为:112yx;联立直线m与抛物线的解析式,yxBDEFlOACyxBDEFlOACGM得:2134152yxxyx,解得24xy,43xy;∴1(2,4)P,2(4,3)P;同理,联立直线n与抛物线的解析式可求得:3117317,2P,4117317,2P;故存在符合条件的P点,且坐标为:1(2,4)P,2(4,3)P,3117317,2P,4117317,2P.例题4.已知,如图4-1,抛物线2yaxbxc经过点1(,0)Ax,2(,0)Bx,(0,2)C,其顶点为D.以AB为直径的M交y轴于点E、F,过点E作M的切线交x轴于点N.30ONE,12||8xx.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)如图4-2,点Q为EBF上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AHAQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.图4-1图4-【答案】(1)圆的半径12||84222xxABr.连接ME,∵NE是切线,∴MENE⊥.在RtMNE△中,30ONE,4MAME.∴60EMN,8MN,∴2OM.∴2OA,6OB.∴点A、B的坐标分别为(2,0)、(6,0).∵抛物线过A、B两点,所以可设抛物线解析式为:QHEyNAOMCFDBx图(a)图(b)xBDFCMOANyEEyNAOMCFDBx(2)(6)yaxx,又∵抛物线过点(0,2C,∴2(02)(06)a,解得:16a.∴抛物线解析为:2112(2)(6)2663yxxxx,∴当232126x时,128422633y.即抛物线顶点D的坐标为82,3.(2)连接AF、QF,在AQF△和AFH△中,由垂径定理易知:AEAF.∴AQFAFH,又QAFHAF,∴AQFAFH△∽△,∴AFAHAQAF,∴2AHAQAF在RtAOF△中,222222(23)16AFAOOF(或利用22816AFAOAB)∴16AHAQ即:AHAQ为定值.例题5.如图,已知点A的坐标是(1,0),点B的坐标是,0(9),以AB为直径作'O,交y轴的负半轴于点C,连接AC,BC,过A,B,C三点作抛物线.(1)求抛物线的解析式;(2)点E是AC延长线上一点,BCE的平分线CD交'O于点D,连接BD,求直线BD的解析式;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得PDBCBD?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)连接'OC,因为(1,0)A,(9,0)B,所以1'''52OAOBOCAB,1OA,''4OOOAOA,由勾股定理,得3OC,所以(0,3)C,设抛物线的解析式为2yaxbxc,则038190abccabc,解得13833abc,所以抛物线的解析式为218333yxx;(2)连接'OD,则由圆周角定理,90ACBBCE,又CD平分BCE,所以45BCD,'290BODBCD,所以可以得到(4,5)D,又(9,0)B,所以直线BD的解析式为:9yx.(3)存在,①当1//DPCB时,能使PDBCBD,又可得13BCk,所以113DPk,且点(4,5)D,所以直线1DP的解析式为11933yx,则由题意21193318333yxyxx,解得11941241296xy或22941241296xy(舍去)所以此时点19414129,26P.②过点C作BD的平行线,交'O于点G,此时有,GDBGCBCBD.又可得1BDk,1CGk,所以直线CG的解析式为:3yx,设点(,3)Gmm,作GHx轴交x轴于点H,连接'OG,则在Rt'OGH△中,由勾股定理可得,7m,所以此时(7,4)G,所以直线DG的解析式为:317yx,则由题意231718333yxyxx,解得111425xy或2238xy(舍去),所以此时点2(14,25)P.综上所述,19414129,26P,2(14,25)P.例题6.如图所示,抛物线与x轴交于点(1,0)A、(3,0)B两点,与y轴交于点(0,3)C.以AB为直径作M,过抛物线上一点P作M的切线PD,切点为D,并与M的切线AE相交于点E,连结DM并延长交M于点N,连结AN、AD.(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;(2)若四边形EAMD的面积为43,求直线PD的函数关系式;(3)
本文标题:2020中考数学-二次函数培优专题:二次函数与圆综合(含答案)
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