百师联盟2020届高三理数模拟试卷四(全国卷Ⅰ)附答案

第1页共4页百师联盟2020届高三理数模拟试卷四（全国卷Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。（共12题；共60分）1.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A.{x=3，y=0}B.{（3，0）}C.{3，0}D.{0，3}2.已知复数z=，则̅=（）A.B.C.D.3.新高考改革后，某校2000名学生参加物理学考，该校学生物理成绩的频率分布直方图如图所示，若规定分数达到90分以上为A级，则该校学生物理成绩达到A级的人数是（）A.600B.300C.60D.304.掷硬币实验是很常见却又非常有名的一个概率实验，许多著名的科学家都做过这个实验，比如蒲丰、德摩根等.通过掷硬币的实验，可以让人们感受到随机事件的发生，形成可能性的概率观念.若抛掷一枚硬币出现正面向上记为1，反面向上记为0.现抛掷一枚硬币6次，出现两个0和四个1的概率为（）A.B.C.D.5.已知凸四边形ABCD的面积为S，点P是四边形内部任意一点，若点P到四条边AB，BC，CD，DA的距离分别为d1，d2，d3，d4，且满足，利用分割法可得d1+2d2+3d3+4d4=；类比以上性质，体积为V的三棱锥P-ABC，点Q是三棱锥内部任意一点，Q到平面PAB，PBC，PAC，ABC的距离分别为D1，D2，D3，D4，若，则D1+2D2+3D3+4D4=（）A.B.C.D.6.已知F1，F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，C的上顶点A在圆（x-2）2+（y-1）2=4上，若∠F1AF2=，则椭圆C的标准方程为（）A.B.C.D.7.如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A.6π+12B.10π+36C.5π+36D.6π+188.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A.-B.-C.2D.-29.已知函数f（x）=sincos-√sin2+√，x∈[-1，a]，a∈N*，若函数f（x）图象与直线y=1至少有2个交点，则a的最小值为（）A.7B.9C.11D.1210.在如图所示的圆锥中，平面ABC是轴截面，底面圆O'的面积为4π，∠ABC=，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.32π11.已知点P是双曲线C：（a1）上的动点，点M为圆O：x2+y2=1上的动点，且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若|PM|的最小值为√，则双曲线C的离心率为（）A.√B.√C.√D.√12.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=x·2x.则方程f（x）-|lgx|=0的根的个数为（）A.99B.100C.198D.200二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.己知向量=（m-3，2），=（-1，1），若，则||=________.14.12月4日为国家普法日，某校特举行普法知识竞赛，其中一个环节是从6道题中采用不放回的方式收取两道进行作答，选手甲能正确回答其中的4道题，则甲在第一次抽到的题能回答正确的条件下，第二次抽到的题也能回答正确的概率为________.15.函数f（x）=（a+1）x2+bx-2（a0，b0）在原P（1，f（1））处的切线斜率为4，则z=a2+b2的最小值为________.16.已知数列{an}和{bn}，设Sn为数列{an}的前n项和，满足a1=2，且对任意m，n∈N*，都有am+n=am·an，若，则数列{bn}的所有项中的最小值为________.三、解答题：（共7题；共80分）17.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2+4n（n=N*）.（1）证明数列{nan}为等差数列；（2）若b=nan·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.18.如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.（1）设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；（2）求二面角A-PB-C的余弦值.19.已知函数地f（x）=a（x-1）-（x+1）lnx，a=R.（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当x1时，f（x）0，求实数a的取值范围.20.出版商为了解某科普书一个季度的销售量y（单位：千本）和利润x（单位：元/本）之间的关系，对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析，得到如下的10组数据.序号12345678910x2.43.14.65.36.47.17.88.89.510y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4根据上述数据画出如图所示的散点图：参考公式及参考数据：①对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线̂̂的斜率和截距的公式分别为̂∑̅̅∑̅,̂̅̂̅.②参考数据：̅̅̅∑̅∑̅∑̅̅∑̅̅6.506.631.7582.502.70-143.25-27.54表中ui=Inxi，̅=∑.另：In4.06≈1.40.计算时，所有的小数都精确到0.01.（1）根据图中所示的散点图判断y=ax+b和y=clnx+d哪个更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型？（给出判断即可，不需要说明理由）；（2）根据（1）中的判断结果及参考数据，求出y关于x的回归方程；（3）根据回归方程分析：设该科普书一个季度的利润总额为：（单位：千元），当季销售量y为何值时，该书一个季度的利润总额预报值最大？（季利润总额=季销售量×每本书的利润）21.已知点F为抛物线C：x2=2py（p0）的焦点，点M、N在抛物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:（x-2）2+（y-3）2=16的直径为MN.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l1，l2，证明直线l1，l2的交点在定直线上，并求出该直线.22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：√√√√（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立根坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=√.（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）M（3，0），直线L和曲线C交于A、B两点，求的值.23.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-5|.（1）求不等式f（x）≤10的解集；（2）a，b均为正实数，若为函数f（x）的最小值，求实数a+2b的取值范围。第3页共4页答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】A10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【答案】√14.【答案】15.【答案】16.【答案】124三、解答题：17.【答案】（1）证明：当n=1时，a1=5；当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=n2+4n①，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1==（n-1）2+4（n-1）②，①-②得nan=2n+3，当n=1时符合，即nan=2n+3，则（n+1）an+1-nan=2，所以数列{nan}为等差数列.（2）解：由题可知bn=（2n+3）2n.所以Tn=5×21+7×22+9×23+…+（2n+3）×2n③，2Tn=5×22+7×23+9×24+…+（2n+3）×2n+1④，③-④得-Tn=10+2×（22+23+24+…+2n）-（2n+3）×2n+1=2-（2n+1）×2n+1，所以Tn=（2n+1）×2n+1-218.【答案】（1）解：当F为CD中点时，满足平面ABF∥平面PBC，证明如下：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，CF=CD=2，AB=2，所以CF=AB，CF∥AB，即四边形ABCF为平行四边形，所以AF∥CB，即AF∥平面PCB，在△DCP中，因为E、F分别为PD、CD中点，所以EF∥CP，即EF∥平面PCB.又因为EF∩AF=F，EF平面AEF，AF平面AEF，所以平面ABF∥平面PBC.（2）解：由题知AB、AD、AP两两垂直，如图，分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），⃗⃗⃗⃗⃗=（2，0，-4），⃗⃗⃗⃗⃗=（2，4，0），设平面PBC的法向量为n=（x，y，z），则由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以，所以n=（2，-1，1）又知AD⊥平面PAB，所以平面PAB的法向量为⃗⃗⃗⃗⃗=（0，4，0），所以cosn，⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√√，由图可知二面角A-PB-C是钝角，所以二面角A-PB-C的余弦值为√.19.【答案】（1）解：当a=2时，f（x）=2（x-1）-（x+1）Inx，f'（x）=1-lnx-所以f（2）=2-3ln2，f'（2）=-ln2，所以切线方程为y=（-ln2）x+1-ln2（2）解：由题f（x）0，即a（x-1）-（x+1）lnx0，所以-lnx0，令g（x）=-lnx，g'（x）=-=，g（1）=0，g'（1）=-1，由g'（1）=-1≤0可得a≤2当时a≤2时，-[x2+2（1-a）x+1]≤-（x2-2x+1）=-（x-1）20.即g'（x）0，所以函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）g（1）=0.满足题意；当a2时，g'（1）0，g'（2a）=0，所以存在x0∈（1，2a），使得g'（x0）=0，且g（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即g（x0）g（1）=0.不合题意，舍去，综上所述，实数a的取值范围为（-∞，2]20.【答案】（1）解：y=clnx+d更适宜作为销售量y关于利润x的回归方程类型（2）解：令u=lnx，先建立y关于u的线性回归方程，由于̂∑̅̅∑̅,̂̅̂̅=6.63+10.20×1.75=24.48，所以x关于u的线性回归方程为̂=24.48-10.20u，即y关于x的回归方程为̂=24.48-10.20lnx.（3）解：由题意得z=xy=x（24.48-10.20lnx），z'=[x（24.48-10.20lnx）]'=14.28-10.20lnx，令z'=0即14.28-10.20lnx=0，解得lnx=1.40，所以x≈4.06.当x∈（0，4.06）时，z'0，所以z在（0，4.06）上单调递增，当x∈（4.06，+∞）时，z'0，所以z在（4.06，+∞）上单调递减，所以当x=4.06时，即季销量y=10.20千本时，季利润总额预报值最大21.【答案】（1）解：由题可知MN中点为P（2，3），设M、N到准线的距离分别为d1，d2.P到准线的距离为d，则d=yP+=，由抛物线定义得d1=|AF|，d2=|BF|，所以d1+d2=|AB|=8，所以yP+=4，即p=2×（4-yP）=2.所以抛物线C的标准方程为x2=4y.（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2=4y，得y=，则y'=，所以直线l1的方程为y-y1=（x-x1），直线l2的方程为y-y2=（x-x2）联立l1，l2方程得即l1，l2的交点坐标为（，）因为l过焦点F（0，1），由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l方程为y=kx+1，与抛物线x2=4y联立得x2-4kx-4=0，所以x1x2=-4，y==-1，所以直线l1，l2的交点在定直线y=-1上22.【答案】（1）解：将曲线C两式平方相加得C：x2+y2=16l：ρcosθ+psinθ-3=0，所以直线l的直角坐标方程为x+y-3=0（2）解：由题可知点M在直线l上，则直线l的参数坐标方程为√√（t为参数），设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线的参数方程带入C：x2+y2=16得t2-√t-7=0，