2018年高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形课件

专题二三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.年份卷别考查角度及命题位置2019Ⅰ卷三角变换求值·T15正弦定理解三角形·T11Ⅲ卷三角函数求值·T4正弦定理解三角形·T152019Ⅰ卷利用余弦定理解三角形·T4Ⅱ卷利用正弦定理解三角形·T15Ⅲ卷三角恒等变换求值问题·T6解三角形·T91．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0Cπ4，所以C＝π6.故选B.答案：B2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A．－45B．－15C.15D.45解析：先利用二倍角公式展开，再进行“1”的代换，转化为关于tanθ的关系式进行求解．∵cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ，又∵tanθ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π2)，tanα＝2，则cosα－π4＝________.解析：∵α∈(0，π2)，tanα＝2，∴sinα＝255，cosα＝55，∴cos(α－π4)＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝22×(255＋55)＝31010.31010方法结论三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．1．若tanα＝－22，且α是第四象限角，则cos2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos2(α＋π)＝()A．－23B.23C．－13D.13D通解：因为α是第四象限角，tanα＝－22，故sinαcosα＝－22，由sin2α＋cos2α＝1可得cos2α＝23，cosα＝63，sinα＝－33.cos2α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos2(α＋π)＝sin2α＋sinαcosα＋22cos2α＝13＋－33×63＋23＝13，故选D.优解：因为α是第四象限角，tanα＝－22，故cos2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos2(α＋π)＝sin2α＋sinαcosα＋22cos2α＝sin2α＋sinαcosα＋22cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanα＋22tan2α＋1＝1232＝13，故选D.题组突破2．(2017·蚌埠模拟)已知sin2α－2＝2cos2α，则sin2α＋sin2α＝________.由sin2α－2＝2cos2α得sin2α＝2＋2cos2α，即2sinαcosα＝4cos2α，即cosα＝0或tanα＝2.当cosα＝0时，sin2α＋sin2α＝1；当tanα＝2时，sin2α＋sin2α＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.综上，sin2α＋sin2α＝1或85.题组突破1或853．(2017·合肥检测)已知cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．题组突破(1)cosπ6＋α·cosπ3－α＝cosπ6＋α·sinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12，因为α∈π3，π2，所以2α＋π3∈π，4π3，所以cos2α＋π3＝－32.题组突破所以sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.(2)由(1)知tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.题组突破误区警示三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．方法结论正、余弦定理、三角形面积公式(1)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.方法结论(2)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.(3)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.[典例](2017·广州模拟)如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．(1)在△ABC中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝CDBD＝52x.在△ACD中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝53，则cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22×AD×CD＝x2＋52－5322×x×5.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即x2＋52－5322×x×5＝－52x.解得x＝5.所以AD的长为5.(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝4x2－25＝53.所以cos∠CBD＝BCBD＝32，从而sin∠CBD＝12.所以S△ABC＝12×AB×BC×sin∠CBA＝12×15×53×12＝7534.类题通法等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC”；若想“角”往“边”化，常利用sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，cosC＝a2＋b2－c22ab等．演练冲关1．(2017·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC＝223，bcosA＋acosB＝2，则△ABC的外接圆面积为()A．4πB．8πC．9πD．36πCc＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝223得sinC＝13，再由正弦定理可得2R＝csinC＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.演练冲关2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A．14hB．15hC．16hD．17hB记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得6002＋400t2－2×20t×600×22≤4502，即4t2－1202t＋1575≤0，解得302－152≤t≤302＋152，所以Δt＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.演练冲关3．(2017·海口模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cosC＝c(3cosB－cosA)．(1)求sinBsinA的值；(2)若c＝7a，求角C的大小．演练冲关(1)由正弦定理得，(sinA－3sinB)cosC＝sinC·(3cosB－cosA)，∴sinAcosC＋cosAsinC＝3sinCcosB＋3cosCsinB，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sinB＝3sinA，∴sinBsinA＝3.(2)由(1)知b＝3a，∵c＝7a，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋9a2－7a22×a×3a＝3a26a2＝12，∵C∈(0，π)，∴C＝π3.解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[典例](1)在△ABC中，AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，则△ABC面积的最大值为()A.21B.3214C.212D．321设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵AC→·AB→＝|AC→－AB→|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc＝1－3cosA2，∴cosA≥25，∴0＜sinA≤215，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC面积的最大值为3214.答案：B(2)(2017·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B－C2－sinB·sinC＝2－24.①求角A；②若a＝4，求△ABC面积的最大值．①由cos2B－C2－sinB·sinC＝2－24，得cosB－C2－sinB·sinC＝－24，∴cos(B＋C)＝－22，∴cosA＝22(0＜A＜π)，∴A＝π4.②由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－2bc≥(2－2)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋2)．∴S△ABC＝12bcsinA＝24bc≤4(2＋1)，即△ABC面积的最大值为4(2＋1)．类题通法化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．1．(2017·沈阳模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，求S的最大值．由题意得：4×12bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得：2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，即sinA＋cosA＝1，2sin(A＋π4)＝1，又0＜A＜π，∴π4＜A＋π4＜5π4，∴A＋π4＝3π4，∴A＝π2，S＝12bcsinA＝12bc，又b＋c＝8≥2bc，当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，∴S的最大值为8.演练冲关演练冲关2．(2017·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，求BC边上的中线AM的最大值．演练冲关(1)由b2＋c2－a2＝bc，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0＜A＜π，∴A＝π3.(2)∵AM是BC边上的中线，∴在△ABM中，AM