2020人教A高考理科数学-高考大题专项(一)-导数的综合应用

1高考大题专项(一)导数的综合应用突破1导数与函数的单调性1.(2018全国卷2,文21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)略.2.(2018全国卷2,理21)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)略.3.已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.24.(2019山东潍坊三模,21)已知函数f(x)=x2+alnx-2x(a∈R).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)略.5.(2019河南开封一模,21)设函数f(x)=(x-1)ex-x2(其中k∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)略.6.(2019河北衡水同卷联考,21)已知函数f(x)=x2eax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)略.3突破2利用导数研究函数的极值、最值1.(2019哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;(2)略.2.(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数f(x)=lnx-ax(a∈R)在定义域内的极值点的个数.3.(2019陕西咸阳模拟一,21)设函数f(x)=2lnx-x2+ax+2.(1)当a=3时,求f(x)的单调区间和极值;(2)略.44.(2019四川宜宾二模,21)已知函数f(x)=-.(1)当a=1时,判断f(x)有没有极值点?若有,求出它的极值点;若没有,请说明理由;(2)略.5.(2019湖北八校联考二,21)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.(1)函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.6.(2019广东广雅中学模拟)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.5突破3导数在不等式中的应用1.(2019湖南三湘名校大联考一,21)已知函数f(x)=xlnx.(1)略;(2)当x≥时,f(x)≤ax2-x+a-1,求实数a的取值范围.2.(2018全国卷1,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥时,f(x)≥0.63.(2019四川内江一模,21)已知函数f(x)=ex+ax+ln(x+1)-1.(1)若x≥0,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.(2)略.4.(2019江西新余一中质检一,21)函数f(x)=(x-2)ex+ax2-ax.(1)略;(2)设a=1,当x≥0时,f(x)≥kx-2,求k的取值范围.5.(2019四川宜宾二模,21)已知函数f(x)=-.(1)略;(2)若f(x)x+1在定义域上恒成立,求a的取值范围.76.(2019山西太原二模,21)已知x1,x2(x1x2)是函数f(x)=ex+ln(x+1)-ax(a∈R)的两个极值点.(1)求a的取值范围;(2)求证:f(x2)-f(x1)2lna.突破4导数与函数的零点1.已知函数f(x)=x2-mlnx.若m≥1,令F(x)=f(x)-x2+(m+1)x,试讨论函数F(x)的零点个数.2.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=xlnx-a(x2-x)+1,函数g(x)=f'(x).(1)若a=1,求f(x)的极大值;(2)当0x1时,g(x)有两个零点,求a的取值范围.83.(2019河南开封一模,21)已知函数f(x)=.(1)略;(2)若f(1)=1,且方程f(x)=1在区间(0,1)内有解,求实数a的取值范围.4.(2019山西晋城二模,21)已知函数f(x)=lnx,g(x)=x3+2(1-a)x2-8x+8a+7.(1)若曲线y=g(x)在点(2,g(2))处的切线方程是y=ax-1,求函数g(x)在[0,3]上的值域;(2)当x0时,记函数h(x)={若函数y=h(x)有三个零点,求实数a的取值范围.5.(2019四川第二次诊断,21)已知f(x)=xlnx.(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)-axx=0有两个不同解,求实数a的取值范围.6.(2019河北唐山三模,21)已知函数f(x)=xlnx-x2-ax+1,a0,函数g(x)=f'(x).9(1)若a=ln2,求g(x)的最大值;(2)证明:f(x)有且仅有一个零点.参考答案高考大题专项(一)导数的综合应用突破1导数与函数的单调性1.解(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3.令f'(x)=0,解得x=3-2√或x=3+2√当x∈(-∞,3-2√)∪(3+2√,+∞)时,f'(x)0;当x∈(3-2√,3+2√)时,f'(x)0.故f(x)在(-∞,3-2√),(3+2√,+∞)上单调递增,在(3-2√,3+2√)上单调递减.2.证明(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g'(x)0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.3.解(1)由题意知f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.当x∈(-∞,k-1)时,f'(x)0,当x∈(k-1,+∞)时,f'(x)0.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).4.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+-2=-,令2x2-2x+a=0,Δ=4-8a=4(1-2a),若a,则Δ≤0,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;10若a,则Δ0,方程2x2-2x+a=0,两根为x1=-√-,x2=√-,当a≤0时,x20,x∈(x2,+∞),f'(x)0,f(x)单调递增;当0a时,x10,x20,x∈(0,x1),f'(x)0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞),f'(x)0,f(x)单调递增.综上,当a时,函数f(x)单调递增区间为(0,+∞),当a≤0时,函数f(x)单调递增区间为√-,+∞,当0a时,函数f(x)单调递增区间为0,-√-,√-,+∞.5.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k),①当k≤0时,令f'(x)0,解得x0,∴f(x)的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞).②当0k1时,令f'(x)0,解得xlnk或x0,∴f(x)在(-∞,lnk)和(0,+∞)上单调递增,在(lnk,0)上单调递减.③当k=1时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.④当k1时,令f'(x)0,解得x0或xlnk,所以f(x)在(-∞,0)和(lnk,+∞)上单调递增,在(0,lnk)上单调递减.6.解(1)函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2xeax+x2·aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,在区间(-∞,0)内单调递减;当a0时,f'(x)=axx+eax,令f'(x)0得x-或x0,令f'(x)0得-x0,所以f(x)在区间-∞,-内单调递增,在区间-,0内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增;当a0时,f'(x)=axx+eax,令f'(x)0得0x-,令f'(x)0得x-或x0,所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间0,-内单调递增,在区间-,+∞内单调递减.突破2利用导数研究函数的极值、最值1.解(1)当a=时,f(x)=lnx-x,函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-11f(x)↗ln2-1↘故f(x)的极大值为ln2-1,无极小值.2.解函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=-(x0).当a≤0时,f'(x)0在(0,+∞)上恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;当a0时,若x∈0,,则f'(x)0,若x∈,+∞,则f'(x)0,故函数f(x)在x=处取极大值.综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a0时,函数f(x)有一个极大值点.3.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=3时,f(x)=2lnx-x2+3x+2,所以f'(x)=-2x+3=-,令f'(x)=-=0,得-2x2+3x+2=0,因为x0,所以x=2.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下:x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)↗2ln2+4↘所以f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞).f(x)的极大值为2ln2+4,无极小值.4.解(1)函数f(x)=-,则x0且x≠1,即函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞).当a=1时,f(x)=-,则f'(x)=---,令g(x)=x-lnx-1,则g'(x)=1--,①当x∈(0,1)时,g'(x)0,g(x)单调递减,g(x)g(1)=0,∴f'(x)0,f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以无极值点;②当x∈(1,+∞)时,g'(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(1)=0,∴f'(x)0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以无极值点.综上,当a=1时,f(x)无极值点.5.解(1)因为f(x)=lnx+ax2+bx,所以f'(x)=+2ax+b,12则在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=1+2a+b,由题意可得,1+2a+b=-2,且a+b=-2,解得a=b=-1.所以f'(x)=-2x-1=--=--,由f'(x)=0,可得x=(x=-1舍去),当0x时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x时,f'(x)0,f(x)单调递减,故当x=时,f(x)取得极大值,且为最大值,f=-ln2-故f(x)的最大值为-ln2-6.解(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+-,令f'(x)=0,得x=1.当0x1时,f'(x)0;当x1时,f'(x)0.∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.∴f(x)max=f(1)=-1.∴当a=-1时,函数f(x)的最大值为-1.(2)f'(x)=a+,x∈(0,e],则,+∞.①若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a-,令f'(x)0得,a+0,又x∈(0,e],解得0x-;令f'(x)0得,a+0,又x∈(0,e],解得-x≤e.从而f(x)在0,-上单调递增,在-,e上单调递减,∴f(x)max=f-=-1+ln-.令-1+ln-=-3,得ln-=-2,即a=-e2.∵-e2-,∴a=-e2符合题意.故实数a的值为-e2.突破3导数在不等式中的应用131.解(2)由已知得a,设h(x)=,则h'(x)=-∵y=xlnx+lnx+2是增函数,且x,∴y≥--1+20,∴当x∈,1时,h'(x)0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)0,∴h(x)在x=1处取得最大值,h(1)=1,∴a≥1.故a的取值范围为[1,+∞).2.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-由题设知,f'(2)=0,所以a=从而f(x)=ex-lnx-1,f'(x