2016届高考数学二轮复习 第三部分 专题二 考前教材考点排查 第二讲 三角函数、解三角形、平面向量

考前30天第三部分考前教材考点排查专题二第二讲三角函数、解三角形、平面向量1．三角函数与解三角形[知识回扣]一、概念与公式1．同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2，k∈Z；(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．2．三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k·π2±α(k∈Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原三角函数值的符号．3．三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)4.三角恒等变换的主要公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ；sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.二、定理与结论1．三角函数的两种常见变换(1)y＝sinx――――――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)．――――――――――――→纵坐标变为原来的A倍横坐标不变y＝Asinωx＋φA0，ω0.2．正、余弦定理(1)正弦定理①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.注：R是三角形的外接圆半径．(2)余弦定理①cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.②b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.[考点排查]1．终边相同的角α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．[问题1]已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为________．[答案]－152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2]cos9π4＋tan－7π6＋sin21π的值为________．[答案]22－333．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈Z；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为0，π2.[问题3]函数y＝sin－2x＋π3的递减区间是________．[答案]kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)4．三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－β－π4，α＝α＋π4－π4.[问题4]已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________.[答案]－56655．解三角形已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中AB⇔sinAsinB.[问题5]在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝60°，则B＝________.[答案]45°2．平面向量[知识回扣]一、平面向量的有关运算1．两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.2．若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.二、三点共线的判定三个点A，B，C共线⇔AB→，AC→共线；向量PA→，PB→，PC→中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得PA→＝αPB→＋βPC→，且α＋β＝1.[考点排查]6．向量的平行与垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.[问题6]下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是________．[答案]④7．投影a在b上的投影＝|aa，b＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.投影是一个实数，可以是正数、负数或零．注意：a，b为锐角⇔a·b0且a、b不同向；a，b为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；a，b为钝角⇔a·b0且a、b不反向．[问题7]已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．[答案]1258．数量积的运算当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．[问题8]下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是________．[答案]④