幂等变换和幂等矩阵的性质

幂等变换和幂等矩阵的性质中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质正文:（一）定义及说明定义1.设是数域P上线性空间V上的线性变换，且2，则称为V上的幂等变换。定义2.设A是数域P上的n级方阵，若2AA，则称A为V上的幂等矩阵。因为数域P上n维线性空间V的全部线性变换组成的集合()nLVP对于线性变换的加法和数量乘法构成的P上的线性空间与数域P上的n级方阵构成的线性空间nnP同构，即()nnnLVPP。所以幂等变换对应于幂等矩阵A,2AA.（二）幂等变换的一个性质及其推广[1]定理1.设是数域P上线性空间V的线性变换，且2，则有（1）()Ker=()|V,Im()=()|V（2）()Im()VKer（3）若是V的一个线性变换，则()Ker和Im()都在之下不变的充要条件是将幂等变换的定义加以推广：设是数域P上线性空间V上的线性变换，且n，则称为V上的幂等变换。对于满足n的线性变换有类似性质定理2.设是数域P上线性空间V的线性变换，且n（2n），则有（1）()Ker=1()|nV，Im()=1()|nV（2）()Im()VKer（3）若是V的一个线性变换，则()Ker和Im()都在之下不变的充要条件是11nn证明：已知n（1）：(),()0Ker即122()(())(0)0nnn1()n1()|nV因此()Ker1()|nV反之，1()n1()|nV，由1(())()()()()0nn1()n()Ker因此1()|nV()Ker从而()Ker=1()|nVIm(),,V使得（）11,()(())()()nnnn1()|nV因此Im()1()|nV反之，11()()|,nnVV，有2(())Im()n因此1()|nVIm()从而Im()=1()|nV（2）：由（1），,Vn-1n-1有=(-())+()()Ker+Im()V()Ker+Im()从而V()Ker+Im()又设()KerIm()由()Ker()0又由Im()=1()|nV122()(())(0)0nnn即()KerIm()=0()Im()VKer（3）：假设()Ker，Im()都在之下不变V，由（2），存在唯一的()Ker，唯一的Im()，使得则由假设，()()Ker，()Im()122()((()))(0)0nnn，11()(())()nn（由（1））111()()()0()()nnn又122()(())(0)0nnn，1()n（由（1））1111()()(())(())nnnn(0)()()11()()nn由的任意性，11nn若11nn，()Ker即()0，且由（1），V使得1()n1(())(())n=11()()()()()()nnn=()()=0()()Ker即()Ker在之下保持不变Im()，由（1），1()n11(())(())()nn即1(())()n由（1），Im()1()|nV()Im()即Im()也在之下保持不变证毕定理1是定理2当n=2时的情形，当然也成立。（三）幂等变换的几个等价表示定理3.设是数域P上的线性空间V的线性变换，则下列命题等价：（1）2（2）的特征值只能是1和0，且10VVV,其中1V和0V分别是的属于1和0的特征子空间（3）Im()Im()V证明：(1)(2)设2，是的特征值，则有()（为的属于特征值的特征向量）由2知，22()()(())()(())22()0为非零向量2()010或又1|()Im()V0|()0()VKer由定理1，Im()()VKer即10VVV(2)(1)如果的特征值只能是1和0，且10VVVV,有1120Im(),()VVKer唯一的唯一的12使得有112(),()01212()()(())(())1212()(()())121(()())(0)=111111(0)(0)()0由的任意性，得()0，即2(1)(3)设2由(2)，10VVV,()(())V有()Im(),()Im()有Im()Im()V设Im()Im()，则12,V使得12()()()从而2211222()()(),()()()()()0()00,即Im()Im()0又0(0)()(0)0Im()Im()因此Im()Im()=0从而Im()Im()V(3)(1)如果Im()Im()V，则Im()Im()=0,()()[()()]Im()V有()()()[()]Im()2()()()()()()()()Im()Im()=0从而()()0由的任意性，2()0即2（四）幂等矩阵的一些性质性质1.设A是n级幂等矩阵，则对(0,1),aaAaE是可逆矩阵证明：由2AA()[(1)]AaEAaE2(1)AAaaE(1)aaE101(){[(1)]}(1)aaAaEAaEEaa当且时，因此AaE可逆，且其逆矩阵为1[(1)](1)AaEaa性质2.设A为幂等矩阵，则A可以对角化证明：由20AA知2()g是A的化零多项式又A的特征值只能是1和0A的最小多项式为2()1gxxxxx或或且这三种情形下()g均无重根故A可对角化性质3.设A是幂等矩阵，则A的秩等于A的迹证明：因为A的特征值只能是1和0，设A的秩为r，则A与000rI相似设12,,n为A的全部特征值，则12ntrA相似矩阵有相同的特征值，而000rI的全部特征值为r个112ntrAr即A的秩等于A的迹性质4.设A是秩为r的幂等矩阵则ACB，其中,rBCEC是秩为r的nr矩阵证明:A与000rI相似，即存在可逆矩阵P使得11100000000rrrrIIIPAPAPPPIP令10,0rrIBIPCP,则秩（C）=r且10000rrrrrIIBCIPPIE性质5.可逆幂等矩阵为单位矩阵证明：A为幂等矩阵，2,AAAAA即又A可逆，两边同时左（右）乘1A,得1AAAE即A为单位矩阵由于幂等矩阵的性质是限制在n维条件下讨论的，所以对应幂等变换的性质也只是在有限维情况下成立，至于这些性质能否推广到无限维的情形，本文未予讨论。参考文献：[1]陈尔明.幂等变换的一个性质的推广[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2003.3[2]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.9.[3]李师正.高等代数解题方法与技巧[M].张玉芬，李桂荣，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.[4]张树青,王晓静.线性空间的幂等变换与对合变换的几个等价表示[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2004.20(1).[5]钟太勇,袁力,彭先萌.幂等矩阵与幂等变换性质的探讨[J].郧阳师范高等专科学校学报,2005年6月第25卷第3期.[6]宿维军.幂等矩阵和幂等变换[J].重庆文理学院学报，2008.4