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1三角函数专题(知识归纳/记忆技巧/典型真题题剖析)一、三角函数的概念(1)角的概念:终边相同角的集合:所有与终边相同的角,连同在内,可构成集合0|360,kkZ或|2,kkZ(2)象限角:第一象限角的集合|22,2xkxkkZ第二象限角的集合|22,2xkxkkZ第三象限角的集合|22,2xkxkkZ第四象限角的集合|22,2xkxkkZ(3)轴线角:终边在x轴上角的集合|,kkZ,终边在y轴上角的集合|,2kkZ,终边在坐标轴上角的集合|,2kkZ(4)角度、弧度的换算关系:(1)3602rad,1180rad,1801rad(2)扇形的弧长、面积公式:设扇形的弧长为l,圆心角为()rad,半径为r,则lr,扇形的面积21122Slrr3、三角函数定义:若,Pxy是角终边上任意异于O的一点,O为坐标原点,OPr,则sin,cos,tan,cotyxyxrrxy4、三角函数在各象限的符号规律:口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦.sincostan(cot)二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式(1)倒数关系:tancot1(2)商的关系:sincostan,cot.cossin(3)平方关系:22sin1cos++————++++————————22、诱导公式x函数sinxcosxtanxcotxsincostancot2cossincottansincostancot32cossincottan2sincostancot注意:(1)诱导公式可概括为2k的各三角函数值的化简公式。(2)记忆规律:奇变偶不变,符号看象限。其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化,若是奇数倍,则函数名称变为相应的余名函数,若是偶数倍,则函数名称不变;符号看象限是指把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。在运用诱导公式过程中注意两点:一是函数名称是否改变,二是正负号的确定原则。3、注意常见方法的运用:(1)sincos,(0,),1,02aa若则(,);(特殊地,若13sincos2,则sincos、分别取1322、;若7sincos,534sincos55则、分别取、;再由其它条件确定唯一结果。)1,2a若则;01,2a若则(,).(特殊地,若312sincos,23则取)。a取负值也可讨论。(2)22sincos,sincossincossincosaa可运用()求得与的值。(3)若tan0,aa可求①3sin4cos3tan4343103sincos3tan131aaa②22222222sin3sin2tan6tan6sin3sin2sincostan11aaa③2222221sincostan11sin2cossin2cos2tan121aa三、两角和与差的三角函数1、两角和与差的三角函数公式:3sin()sincoscossin,cos()coscossinsin,tantantan()1tantan。1、二倍角公式22tansin22sincos1tan;2222221tancos2cossin2cos112sin1tan;22tantan21tan注意:熟悉以下公式变形(1)tantantan1tantan(2)221cos21cos2sin;cos22(3)221cos2cos,1cos2sin22(4)21sinsincos22(5)注意“凑角”运用:2244,求值时,特别注意角的范围及符号。例如:已知3312sin,sin,45413、,,则cos?4(6)辅助角公式的运用:22sincossinabab,其中tanba.如:sin3cos2sin,3sincos2sin,36sincos2sin4等。(7)几种常用变换思想:①变不同角为同角②变不同函数为同名函数③见高次降幂4四、三角函数的图象及性质表(1)函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR|,2xxkkZ值域[1,1][1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数有界性sin1xcos1x无界函数最小正周期222,222()32,222()kkkZkkkZ增区间减区间2,2()2,2()kkkZkkkZ增区间减区间,22()kkkZ增区间对称轴()2xkkZ()xkkZ无对称轴对称中心,0kkZ,02kkZ,02kkZmaxmin221;221xkkZyxkkZy时,时,maxmin21;211xkkZyxkkZy时,时,o322yoo232yx22x32xy2无最值最值单调区间5表(2)(0,0)A函数sinyAxcosyAxtanyAx定义域RR22|,2kxxkZ值域[,]AA[,]AAR奇偶性kkZ时是奇函数,2kkZ时是偶函数。2kkZ时是奇函数,kkZ时是偶函数。kkZ时是奇函数有界性sinAxAcosAxA无界函数最小正周期224242,22()42432,()22kkkZkkkZ增区间减区间22,()22,kkkZkkkZ增区间减区间2222,22()kkkZ增区间对称轴22()2kxkZ()kxkZ无对称轴对称中心,0kkZ22,02kkZ2,02kkZmaxmin422;422kxkZyAkxkZA时,时,ymaxmin2;(2)kxkZyAkxkZA时,时,y无最值最值单调区间6注:(1)注意会解三角函数在区间上的值域(或范围)如:求sin,0,42上的取值范围。(2)注意求单调区间时的整体意识。如:求sin26yx的单调增区间,在0,2上的单调增区间。而sin26yx求单调增区间时,先化成sin26yx的形式,再求sin26yx的单调递减区间。(3)求对称轴、对称中心时,注意整体意识,同时sincosyxyx、在对称轴处取最值。五、图象变换:函数sin0,0yAxA的图象可由sinyx的图象做如下变换得到1、先相位变换周期变换振幅变换sinyxsinyx:把sinyx图象上所有的点向左(0)或向右(0)平移个单位。sinyx:把sinyx图象上各点的横坐标伸长(01)或缩短(1)到原来的1倍,纵坐标不变。sinyAx:把sinyx图象上各点的纵坐标伸长(1A)或缩短(01A)到原来的A倍,横坐标不变。2、先周期变换相位变换振幅变换sinyxsinyx:把sinyx图象上各点的横坐标伸长(01)或缩短(1)到原来的1倍,纵坐标不变。sinyx:把sinyx图象上所有的点向左(0)或向右(0)平移个单位.sinyAx:把sinyx图象上各点的纵坐标伸长(1A)或缩短(01A)到原来的A倍,横坐标不变。3、注意:(1)要会画sinyAx在一个周期的图象:(即五点作图法:设30,,,,2,22tx7求相应的x值和对应的y值,描点作图)如2sin26yx,在0,上的图象的画法。(2)注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。②要先使函数名称相同再变换。如:为得到函数cos23yx的图象,只需将函数sin2yx的图象向平移个单位。(3)2T,1fT(频率)。注意sinyAx、cosyAx相邻两对称轴间的距离为2T。(4)已知图象求解析式时注意:看振幅求A,看周期求,看特殊点求(通常是最大值或最小值时的位置)(5)已知变换求解析式时,注意只能对自变量x进行变换。方法技巧归纳:1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是:在第一象限各三角函数值皆为正;在第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取4.求三角函数值域的常用方法:求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法:(1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域;(2)利用sin,cosxx的有界性求值域;(3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性5.三角函数的图象与性质(一)列表综合三个三角函数sinyx,cosyx,tanyx的图象与性质,并挖掘:⑴最值的情况;⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求sin()yAx的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况;⑶会从图象归纳对称轴和对称中心;sinyx的对称轴是2xk()kZ,对称中心是(,0)k()kZ;cosyx的对称轴是xk()kZ,对称中心是(,0)2k()kZtanyx的对称中心是(,0)()2kkZ注意加了绝对值后的情况变化.8⑷写单调区间注意0.(二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画
本文标题:三角函数专题(知识归纳、记忆技巧、典型真题题剖析)
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