不确定风险状态下的投资

1第九讲不确定性条件下的选择第一节一些公理一、不确定性：行为的结果总是被置于某种概率之下。二、单赌与复赌某事件的概率分布：,1,...,pini，1,0iipp结果：结果的有限集：1,...,nAaa，A上的概率分布{P1，P2，...Pn}：记Gs为关于A的简单赌局的集合：11221{,,...,0,1}nniinsiGpapapapp单赌的“收益”是确定性的结果复赌：凡是奖品本身又成了赌博本身的赌博称为复赌。复合赌局：赌局的结果为仍为赌局彩票：复合彩票：研究生入学考试：初试+复试：初试的结果是赢得复试的机会，又是一个赌博，而不是确定性的结果。2例高产0.2正常0.4低产0.40.2雨量大0.040.080.080.20.5雨量中等0.100.200.200.50.3雨量小0.060.120.120.3确定性条件下的选择：maxuBxxx不确定条件下的选择：maxsgGggu不确定条件下选策的对象是赌局。效用函数如何表示？偏好关系的公理如何确定？3不确定性条件下，消费者在概率分布集合G上有偏好关系，满足以下公理：1：穷尽性公理对于赌局集合G中的任何两个赌局g和g，或者有gg，或者gg。注意：书上以结果代替赌局是简化的做法：结果可以看成概率为1的赌局。例假设期末考试成绩简单分为三档：0,60,100获得各个分数的概率为：A：0.8,0.1,0.1B：0.2,0.6,0.2选择：AB或BA42：传递性公理对于赌局集合G中的任何三个赌局g、g和g，如果有gg，gg，则有gg。上面两条合起即书上的次序完全公理3：连续性公理对于G中的赌局g1，g2,g3，3221~,~gggg,存在某个概率p,0p1，使得231~)1(ggpgp例子：假设期末考试成绩简单分为三档0,60,100最好的结果为100分，最差的结果为0分。根据连续性公理，存在某个概率0,1，5它使得100,10分分与60分无差异。书上例4：独立性公理假设消费者在A和B之间无差异，设C为另外一个结果。如果一张彩票L1以概率P和（1-P）带来结果A和C，另一张彩票L2以概率P和（1-P）带来结果B和C，那么，消费者对该两张彩票无差异：BCACBA,,~若，则CPPBCPPA)1(~)1(同样BCACBA,,~若，则CPPBCPPA)1(~)1(你在一种条件下的决策（选A还是B）与另一种条件下的决策（选C）无关。P73.5：不相等公理如果消费者有BA，令,)1(),,(1111BPAPBAPL,)1(),,(2222BPAPBAPL当且仅当P2P1，12LL66：复合赌局简单化公理对于单赌,)1(),,(1111BPAPBAPL和复赌2234(,,)LPLL,(L3=(P3,A,B),L4=(P4,A,B))，如果P1=P2P3+（1-P2）P4,则复赌L2可简化为单赌L1:12~LL推导：,)1(),,(3333BPAPBAPL,)1(),,(4444BPAPBAPL223423242332442323242423242324111(,,)(1)[(1)](1)[(1)](1)(1)(1)(1)[(1)][(1)(1)(1)](1),LPLLPLPLPPAPBPPAPBPPAPPBPPAPPBPPPPAPPPPBPAPBL第二节VNM效用函数一、定义1、期望2、期望效用如果对于每一个单赌),...,,(2211nnSapapapg，效用函数u(gs)有1iniiuaugp则称u(gs)是关于单赌gs的期望效用函数，即VNM效用函数。1niiipuaug：效用的期望值7区别期望效用与期望值：前者是效用函数的期望，后者是结果的期望。期望效用最大化：1maxniiiugpuagG二、期望效用函数的构造若事件发生的结果集为A=(a1,…,an),且naaa....21。如果消费者将ai看成与a1与an的一个线性组合一样好，即))1(,(~1niiiapapa，则概率pi就是我们要构造的期望效用函数iipau)(例：假定A=(10元，4元，-2元).如果问一个消费者当a1发生的概率p等于多少时使你认为ai(i=1,2,3)与(p,a1,a3)无差异，如果该消费者回答：10元~（1*（10元），0*（-2元））4元~（0.6*（10元），0.4*（-2元））:比较期望值和期望效用值-2元~（0*（10元），1*（-2元））那么，我们就可以定义u(10元)=u(a1)=1u(4元)=u(a2)=0.6u(-2元)=u(a3)=0给定上述效用函数值，比较下列单赌：g1=(0.2*4元,0.8*10元)g2=(0.07*（-2）元,0.03*4元，0.9*10元)92.01*8.06.0*2.0108.04(2.0)1(元）（元）uugu8918.01*9.06.0*03.00*07.010*9.0403.02(07.0)2(元）（元）（元）uuugu消费者偏好赌局g1.虽然g1的期望收益小于g2。这是因为赌局2包含了非常坏（-2元）的情况。第三节风险厌恶一、风险的客观度量以方差或标准差来客观度量风险。二、人们对待风险的主观态度定义：风险规避：uEgug：ug为凹函数16ED13C10A101520uu(x)期望效用u(g)期望值的效用u(E(g))确定给定91112,1gpwpw11121Egpwpw11121ugpuwpuw风险中性：uEgug：ug为线性函数1112,1gpwpw11121Egpwpw11121ugpuwpuw10风险喜好：uEgug：ug为凸函数1112,1gpwpw11121Egpwpw11121ugpuwpuw风险厌恶的数学刻画Arrow-Pratt绝对风险厌恶度量：)()()(wuwuwRaRa(w)0,风险厌恶，uw凹函数，00,uuwwRa(w)=0,风险中性，uw线性函数，00,uuwwRa(w)0,风险爱好：uw凸函数，00,uuww。11三、确定性等价：Certaintyequivalence(CE)确定性等价CE：给定赌局g，与该赌局无差异的确定的财富uCEugu(w2)Eu(E(g))DCu(w1)APw1CEE(g)w2风险升水：riskpremium(P)承担风险的报酬：赌局的期望值与确定性等价之间的差。PEgCECEEgPuguCEuEgP例5：假定原来资产为W0,u(w)=ln(w),令单赌赋予赢h与亏h各0.5的概率，设消费者原来的资产水平为w。求CE与风险升水P.uu(w)期望效用u(g)期望值的效用u(E(g))12解：赌局g=(0.5*(w0+h)+0.5*（w0-h))ln(CE)=ln(g)=0.5ln(w0+h)+0.5ln(w0-h)=ln[(w0+h)(w0-h)]0.5=ln(w02-h2)0.5所以CE=(w02-h2)0.5w0=E(g)P=E(g)-CE=w0-(w02-h2)0.50应用：