二次函数―动点产生的线段最值问题典型例题

中考压轴题精选典型例题讲解第1页共5页二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线l．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点E是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE最小时点E的坐标；（3）点P是x轴上的一个动点，求当PD+PC最小时点P的坐标；（4）点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有QBQC最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A、B、C三点，∴09303abcabcc，解得：123abc，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．∵y=-x2+2x+3=2(1)4x，∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4）．（2）∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则AE=BE，要使AE+CE最小，即BE+CE最小,则B、E、C三点共线如图，连接BC交抛物线的对称轴于点E，解法一：设直线BC的解析式为y=kx+n，则303knn,解得13kn∴3yx．当x=1时，3132x，∴点E的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点F．∵EF∥y轴，∴∠BEF=∠BCO，∠BFE=∠BOC∴△BFE∽△BOC∴BFEFBOCO，∴3133EF,∴2EF∴点E的坐标为（1，2）（3）作出点C关于x轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，FE…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………第2页共5页如图，连接C′D交x轴于点P，∵点C关于x轴的对称点为C′，则PC=PC′，要使PD+PC最小，即PD+PC′最小,则D、P、C′三点共线设直线C′D的解析式为y=kx+n，则43knn,解得73kn∴73yx．当y=0时，073x，∴37x∴点P的坐标为（37，0）（4）∵点A关于抛物线的对称轴的对称点为B，则QB=QA，要使QBQC最大，即QAQC最大,则A、C、Q三点共线如图，连接AC交抛物线的对称轴于点Q，解法一：设直线AC的解析式为y=kx+n，则03knn,解得33kn∴33yx．当x=1时，333136x，∴点Q的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x轴于点F．∵QF∥y轴，∴∠ACO=∠AQF，∠AOC=∠AFQ∴△AOC∽△AFQ∴AOCOAFQF，∴1311QF,∴6QF∴点Q的坐标为（1，6）∴221310QBQCQAQCAC即当点Q的坐标为（1，6）时，QBQC有最大值，最大值为10．QF--C′P中考压轴题精选典型例题讲解第3页共5页【作业1】（2011菏泽）如图，抛物线y=21x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=21x2+bx﹣2上，∴21×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23∴抛物线的解析式为y=21x2﹣23x﹣2．y=21x2﹣23x﹣2=21（x2﹣3x﹣4）=21（x﹣23）2﹣825，∴顶点D的坐标为（23，﹣825）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x2﹣23x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM．∴EDCOEMOM，∴825223mm,∴m=4124解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，则825232nkn,解得n=2，1241kE…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…………第4页共5页∴21241xy．∴当y=0时，-4124,4124,021241mxx中考压轴题精选典型例题讲解第5页共5页【作业2】2011四川广安）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B(－1，2)，D(3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D、M、N．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M（0，2），N（－3，2），∴2,293,093.cabcabc解得：1,91,32.abc∴211293yxx（2）∵PA＝PC，∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y＝－x＋1．根据题意可列方程组21,112.93yxyxx解得：11332232xy22332232xy∴P1（332,232）、P2（332,232）．（3）如图所示，延长DC交抛物线的对称轴于点Q，根据题意可知此时点Q满足条件．由题意可知C（1，2），D（3，0），可求得CD所在的直线的解析式为3yx．抛物线211293yxx的对称轴为直线1.5x．∵点Q在直线x＝－1.5上，又在直线3yx上．∴Q（－1.5，4.5），QE＝QD．∴2231222QEQCQDQCCD．即当点Q的坐标为（－1.5，4.5）时，QEQC有最大值，最大值为22．