§6.2--二重积分的计算

§6.2二重积分的计算一、二重积分的几何意义前面我们已经知道：面密度为f(x,y)的平面簿片的质量可以用二重积分表示为：01,lim(,).niiiiDmfxydf因为被积函数z=f(x,y)在几何上表示一空间曲面，假定z=f(x,y)0且在D上连续，下面我们将说明二重积分,Dfxyd在几何上表示以xoy面上的闭区域D为底，以过D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以曲面的体积.这样的空间立体z=f(x,y)为顶的一空间立体称为曲顶柱体.zfx,yD分割求曲顶柱体的体积.的通过分割、作乘积、求和、取极限，可得曲顶柱体的体积01lim(,).niiiiVfxzyoD()zfx,yi()ii,,iiiivf,Dfxyd,iizf就是曲顶柱体的体积.在xoy平面的下方，二重积分的绝对值,Dfxyd就是柱体的体积,但此时二重积分,Dfxyd的值是负的.而在其余部分的区域是负的，则,Dfxyd就等于这些部分区域上曲顶柱体体积的代数和.当f(x,y)0时，二重积分,Dfxyd的几何意义,Dfxyd当f(x,y)为负时，柱体就如果f(x,y)在D内的某些部分区域是正的，二、直角坐标系中二重积分的计算首先讨论二重积分,Dfxyd中积分区域D的表示法1.如果积分区域D可以表示为：12,.yxyyxDaxb2()yyxabD1()yyxDba2()yyx1()yyx［X－型］12,,yxyxab其中函数在上连续.［X－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的Dba2()yyx1()yyx2()yyxabD1()yyx直线与区域边界相交不多于两个交点.2.如果积分区域D为：［Y－型］12,.xyxxyDcyd12,,xyxycd其中函数在区间上连续.［Y－型］Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.下面我们通过曲顶柱体体积的计算来说明二重积分,Dfxyd化为二次积分的方法，在讨论中，假定f(x,y)0，D为X-型.[y1(x0),y2(x0)]为底边，以曲线的曲边梯形，此截面面积为201000,.yxyxAxfxydyx且平行yoz面的平面截曲顶柱体所得截面面积为21,.yxyxAxfxydy任取x[a,b]，过点在[a,b]上任取一点x0作平行于yoz面截曲顶柱体所得截面是一个以区间z=f(x0,y)为曲边应用定积分中计算“已知平行截面面积的立体体积”的方法，得到21,,bbyxaayxAxdxfxydydx这个体积的值，就是二重积分,Dfxyd的值。因此，二重积分,Dfxyd21.,byxayxfxydydx,Dfxyd21.,byxayxfxydydx上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分，其中括号内的积分21,yxyxfxydy是将x看作常数，把f(x,y)看作变量y的函数，其积分结果是x的函数，再对x计算在区间[a,b]上的定积分。先对y后对x的二次积分通常又记为：(,)(,)DDfxydfxydxdy21()()(,).byxayxdxfxydy确定积分顺序时，应注意积分区域D为X-型的特点：［X－型］(,)(,)DDfxydfxydxdy21()()(,).byxayxdxfxydy类似地，当积分区域D为Y-型时，可得公式：(,)(,)DDfxydfxydxdy21()()(,).dxycxydyfxydx确定积分顺序时，应注意积分区域D为Y-型的特点：［Y－型］注：上面的公式当f(x,y)0不满足时，公式亦成立.注1当积分区域D既是X-型又是Y-型区域时，上述两个不同顺序的二次积分的值相等.即(,)Dfxydxdy21()()(,)byxayxdxfxydy21()()(,).dxycxydyfxydx注2如果积分区域D既不是X-型又不是Y-型，则可将D分成几部分，使得每个部分是X-型或Y-型。123(,).DDDDfxyd1D2D3D解22(00)(11),yx,,,xy2()Dxydxdy2120()xxdxxydy122401[()()]2xxxxxdx33140.例1求，其中是由抛物线2()DxydxdyD2yx2xy和所围平面闭区域.两曲线的交点2xy22,DxydDyxyx例2.计算其中是由与围成闭区域.解先画出积分区域D.(1)先对y后对x的二次积分，D应表示为：2,01.xyxDx2Dxydxdy213013yxyxxydx136013xxxdx140它既是X-型，又是Y-型.2120xxdxxydy(2)将D作为Y-型区域，D可表示为：,01.yxyDy1xyx=y2Dxydxdy120yydyxydx122012xyxyyxdy122011.240yyydy223.,2DydDyxxy例计算其中是由与抛物线围成.解(1)首先画出积分区域D，作先对x后对y的二次积分.22,12.yxyDy2Dyd22212yyydy63.2022212yydyydxD1D2（2）作先对y后对x的二次积分.因为在[-2,-1]和[-1，2]上边界曲线y(x)表达式不同，必须有直线x=-1将D分成D1和D2两部分，其中122,21.xyxDx22,12.xyxDx2Dyd1222DDydyd12222xxdxydy2221xxdxydy6320注1在二重积分中适当选择积分秩序，积分可以简化.21104.xydyedx例计算积分解由于积分2xedx无法用初等函数表示出来，所以该积分不能采用先对x后对y的积分顺序.现改为先对y后对x的积分.首先，根据所给积分确定积分区域1,01.yxDy改变积分顺序时，将D表示为：0,01.yxDx所以22111000xxxydyedxdxedy210111.2xxedxe注2在二重积分中适当选择积分先后顺序，对某些积分可以解决“积得出来”与“积不出来”的问题。1yxxy11解积分区域如图例5改变积分的次序.1100()xdxfx,ydy原式1100()ydyfx,ydx11解积分区域如图212220010()()xxxdxfx,ydydxfx,ydy原式212011()yydyfx,ydx6例改变积分次序例8求由柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围成的立体体积.解由对称性知，其体积为第一卦限部分的8倍.220,0.yRxDxR228DVRxd2222008RRxdxRxdy2208RRxdx3163R解01xy,xyxy,1100()xdxxyxydy1301[(1)(1)]2xxxdx724.例9求由下列曲面所围成的立体体积,zxy,zxy,1xy,0x,0y.所围立体在面上的投影是xoy所求体积()DVxyxydy=x2-11例10解2.:11,01.DyxdDxy计算其中先去掉绝对值符号，如图2Dyxd2211122101()()xxdxxydydxyxdy11.1512322()()DDDxydyxd三、在极坐标系中的计算由二重积分的定义可知；01,lim(,).niiiiDfxydf现在用一族同心圆r=常数以及从极点出发的一族射线常数将D划分为任意的n个小闭区域。小闭区域的面积i为：2211()22iiiiiirrr21,2iiiiirrr，iir当与充分小时不计一个更高阶的无穷小21，2iir量有.iiiirrcos,sin.xryr又1(,)cos,sin.nniiiiiiiiiiiiffrrrr设f(x,y)在D上连续，所以二重积分存在，上式两端令0,：取极限,得(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrd这就是直角坐标系的二重积分变换到极坐标系的二重积分的公式。.ddxdyrdrd注:面积元素下面研究在极坐标系中，二重积分化为二次积分。1极点在积分区域D的外部时21()()(cos,sin).rrdfrrrdr(cossin)Dfr,rrdrd12,()().Drrr1rr2rr2极点在积分区域D的内部时(cossin)Dfr,rrdrd2()00(cos,sin).rdfrrrdr02,0().Drr3极点在积分区域D的边界时()0(cos,sin).rdfrrrdr,0().Drr(cos,sin)Dfrrrdrd极坐标系下区域的面积.Drdrdr=aroD解在极坐标系下D：ar0，20.22xyDedxdy2200arderdr2(1).ae注:极坐标系下能解决直角坐标系下某些“积不出来”的二重积分.例1计算，其中D是由中心在原点，22xyDedxdy半径为a的圆周所围成的闭区域.xyz例2求圆柱体220xyRxR2222xyzR被球面所割下的立体称为维维安尼Viviani体体积.解由于所求立体关于xoy面、zox面对称，其体积为第一卦限部分体积的4倍。第一卦限部分是一个曲顶柱体，其顶为上半球面222,zRxy22,0.xyRxDy0cos,0.2rRD2224DVRxydxdycos222004RdRrrdr332041sin3Rd342.323RDRcosrR解2222sin()Dxydxdyxy2201sin4rdrdrr4.1D例3计算二重积分2222sin(),Dxydxdyxy22{(,)|14}Dxyxy其中积分区域为12222sin()4Dxydxdyxy14DD1:0,12.2Dr由对称性解222222()2()xyaxy2cos2ra,222xya1D2cos2rara根据对称性有14DD例5求曲线222222()2()xyaxy222xya和所围成的图形的面积.在极坐标系下ra,1D2cos2rara614Ddxdy62cos204aadrdr2(3).3a2cos2rara由得交点()6Aa,所求面积Ddxdy