2020-2021学年高考(全国卷)原创押题卷(二)数学文科试题及答案解析

高考原创押题卷（二）数学(文科)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝xy＝2－x2x＋1，则A∩B＝()A.{}0，1B.{}－1，0，1C.{}0，1，2D.{}－1，0，1，22．若z＝1＋i，则2＋iz－z的实部为()A.12B．1C．－12D．－13．为估计椭圆x24＋y2＝1的面积，利用随机模拟的方法产生200个点(x，y)，其中x∈(0，2)，y∈(0，1)，经统计有156个点落在椭圆x24＋y2＝1内，则由此可估计该椭圆的面积约为()A．0.78B．1.56C．3.12D．6.244．已知△ABC中，点D为BC的中点，若向量AB→＝(1，2)，|AC→|＝1，则AD→·DC→＝()A．1B．2C．－1D．－25．中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明．如图2­1所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个相等的直角三角形和中间的那个小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”．若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别为25，1，则cos2∠BAE＝()A.725B.925C.1625D.2425图2­16．若函数f()x＝x＋abx2＋c的图像如图2­2所示，则下列判断正确的是()图2­2A．a0，b0，c0B．a＝0，b0，c0C．a＝0，b0，c0D．a＝0，b0，c07．已知某几何体的三视图如图2­3所示，则该几何体的表面积是()图2­3A．8＋2πB．8＋3πC．8＋3＋3πD．8＋23＋3π8．若0ab1，则ab，ba，logba，log1ab的大小关系为()A．abbalogbalog1abB．baablog1ablogbaC．logbaabbalog1abD．logbabaablog1ab9．已知数列{}an满足an＝5n－2n，且对任意n∈N*，恒有an≤ak.执行如图2­4所示的程序框图，若输入的x值依次为ak，ak＋1，ak＋2，输出的y值依次为12，12，12，则图中①处可填()图2­4A．y＝2x－2B．y＝x2＋3x－16C．y＝||2x＋3＋1D．y＝x2＋7x－1210．已知点P为圆C：x2＋y2－2x－4y＋a＝0与抛物线D：x2＝4y的一个公共点，若存在过点P的直线l与圆C及抛物线D都相切，则实数a的值为()A．2B.2C．3D．－511．如图2­5所示，在三棱锥A­BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为()图2­5A.16π3B.20π3C.323π27D.2015π2712．已知正数a，b，c，d，e成等比数列，且1c＋d－1a＋b＝2，则d＋e的最大值为()A.39B.33C.239D.13第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}an的公差d≠0，若a21＋a2＝1，a22＋a3＝1，则a1＝________．14．若对任意实数k，直线kx＋y－2＋a＝0恒过双曲线C：y2a2－x2＝1(a0)的一个焦点，则双曲线C的离心率是________．15．已知不等式组x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，3x－y－3≤0表示的平面区域为D，若存在(x0，y0)∈D，使得y0＋1≥k(x0＋1)，则实数k的取值范围是________．16．已知f(x)＝lnx，x0，－x2－ax，x≤0，若方程f()x＝x＋a有2个不同的实根，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)如图2­6所示，在△ABC中，cos2A－C2＝14＋sinAsinC，BC＝2，点E为AC中点，边AC的垂直平分线DE与边AB交于点D.(1)求角B的大小；(2)若ED＝62，求角A的大小．图2­618．(本小题满分12分)汽车尾气中含有一氧化碳(CO)，碳氢化合物(HC)等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：不了解了解总计女性ab50男性153550总计pq100(1)若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？图2­7(2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO浓度的数据，并制成如图2­7所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO浓度y%与使用年限t线性相关，试确定y关于t的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO浓度是使用4年的多少倍．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(n＝a＋b＋c＋d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b^＝，a^＝－b^t19.(本小题满分12分)如图2­8所示，PA垂直于正方形ABCD所在平面，点E是线段PC上一点，AB＝3，BE＝6，且BE⊥PC.(1)试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD，并求AFFB的值；(2)求三棱锥P­BEF的体积．图2­820．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－2x＝0关于椭圆C：x2a2＋y2b2＝1()ab0的一个焦点对称，且经过椭圆的一个顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，已知O为坐标原点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点P在椭圆C上，求k的值及平行四边形OAPB的面积．21．(本小题满分12分)已知函数f()x＝ln()x＋1＋a||x－1.(1)若当x≥1时，f()x＋2a0恒成立，求实数a的取值范围；(2)讨论f()x的单调性．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋22t，y＝22t(t∈R)．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝3.(1)求出直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C1交于A，B两点，点C是曲线C1上与A，B不重合的一点，求△ABC面积的最大值．23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲已知实数a，b满足a2＋4b2＝4.(1)求证：a1＋b2≤2；(2)若对任意a，b∈R，||x＋1－||x－3≤ab恒成立，求实数x的取值范围．参考答案·数学(文科)高考原创押题卷（二）1．A2.A3．D[解析]满足0x2，0y1的点()x，y构成长为2，宽为1的长方形区域，面积为2，设椭圆与两正半轴围成的面积为S，则S2≈156200，所以椭圆的面积4S≈156200×2×4＝6.24，故选D.4．C[解析]由点D为BC中点，得AD→·DC→＝12(AB→＋AC→)·12BC→＝12()AB→＋AC→·12(AC→－AB→)＝14()AC→2－AB→2＝14×()1－5＝－1，故选C.5．A[解析]由图可知ab，且a2＋b2＝25，()a－b2＝1，所以a＝4，b＝3，sin∠BAE＝ba2＋b2＝35，所以cos2∠BAE＝1－2sin2∠BAE＝1－2×352＝725，故选A.6．D[解析]由f()0＝0可得a＝0，所以选项A不正确；若b0，c0，则bx2＋c0恒成立，f()x的定义域是R，与图像相矛盾，所以选项B不正确；若b0，c0，当x0时，由bx2＋c0得x－cb，即x－cb时恒有f()x0，这与图像相矛盾，所以选项C不正确．故选D.7．D[解析]由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱柱构成的组合体，其表面积由两个半圆，圆柱的半个侧面，棱柱的两个侧面及棱柱的两个底面组成，故该几何体的表面积S＝π×12＋π×1×2＋2×2×2＋2×12×3×2＝8＋23＋3π，故选D.8．D[解析]因为0ab1，所以0abbbba1，logbalogbb＝1，log1ab0，所以logbabaablog1ab，故选D.9．A[解析]由an＝5n－2n可得an＋1－an＝5－2n，当n≤2时，an＋1－an0，当n≥3时，an＋1－an0，所以an≤a3，即k＝3，因为a3＝7，a4＝4，a5＝－7，所以输入的x值依次为7，4，－7.当x＝4或－7时，y＝12，所以只需把x＝7代入选项中各函数，得到y＝12的就是正确选项．对于选项A，当x＝7时，y＝2×7－2＝12，故选A.10．C[解析]由题意可知直线l为圆C及抛物线D在点P处的公切线，因为点P在抛物线D上，所以设点Pt，t24.由x2＝4y，得y＝x24，y′＝x2，所以直线l的斜率k1＝t2，又圆心C的坐标为()1，2，所以直线PC的斜率k2＝t24－2t－1＝t2－84()t－1，由k1k2＝t3－8t8t－8＝－1，解得t＝2，所以点P的坐标为()2，1，代入方程x2＋y2－2x－4y＋a＝0，得a＝3，故选C.11．D[解析]取CD的中点E，设三棱锥A­BCD外接球的球心为O，△ACD与△BCD外接圆的圆心分别为O1，O2，则O1E＝13AE＝13×32×CD＝33，则四边形OO1EO2是边长为33的正方形，所以三棱锥A­BCD外接球的半径R＝OC＝OE2＋CE2＝()2O1E2＋12CD2＝632＋12＝153，所以该三棱锥外接球的体积V＝43πR3＝2015π27，故选D.12．A[解析]设该数列的公比为q，则q0，由1c＋d－1a＋b＝2可得1c＋d－q2c＋d＝2，所以c＋d＝1－q22.由c＋d0可得0q1，d＋e＝()c＋dq＝q－q32.设f()q＝q－q32，则f′()q＝1－3q22，所以f()q在0，33上单调递增，在33，1上单调递减，所以f()q≤f33＝39，故选A.13．－1或2[解析]a21＋a2＝1，a22＋a3＝1，两式相减得()a2＋a1()a2－a1＋a3－a2＝0，即d()a2＋a1＋d＝0，因为d≠0，所以a2＋a1＝－1，即a2＝－1－a1，代入a21＋a2＝1，得a21－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.14.53[解析]直线kx＋y－2＋a＝0恒过定点()0，2－a，该点就是双曲线C的一个焦点，所以a2＋1＝()2－a2，解得a＝34，故双曲线C的离心率e＝a2＋1a2＝53.15．k≤2[解析]不等式组表示的平面区域D为图中阴影部分所示，其中A(0，1)，B(1，0)，C(2，3)．由()x0，y0∈D，y0＋1≥k(x0＋1)，得y0＋1x0＋1≥k.y＋1x＋1表示点()x，y，(－1，－1)连线的斜率，数形结合，得12≤y＋1x＋1≤2，所以k≤2.16．{a|a＝－1或0≤a1或a1}[解析]当直线y＝x＋a与曲线y＝lnx相切时，设切点坐标为(t，lnt)，则切线斜率k＝(lnx