2016中考数学专题复习(因式分解分式二次根式)

12016年中考数学专题复习四：因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。2、因式分解与整式乘法是运算。【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2=,②完全平方公式：a2±2ab+b2=。【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-12x+14即是完全平方公式形式而x2-x+12就不符合该公式。】一、公式分解的一般步骤1、一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先2、二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用法来分解。3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1（2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2+nB．m2-m+1C．m2-nD．m2-2m+1解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．对应训练1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（）A．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y2考点二：因式分解例2（2012•天门）分解因式：3a2b+6ab2=．解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．故答案为：3ab（a+2b）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是2整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3（2012•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2=．解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2．故答案为：3m（m-3n）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-43．（2012•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2D．a2b（a-3）2考点三：因式分解的应用例48．（2012•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则(2231abbaa)5=．解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，因此a+b2=0，即b2=-a，∴(2231abbaa)5=(231aaaa)5=-(221aaa)5=(121aa)5=（-2）5=-32．故答案为-32．点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．对应训练4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab=．【2015中考名题赏析】1.（2015•浙江杭州,第4题3分）下列各式的变形中，正确的是()A.(−x−y)(−x+y)=x2−y2B.11xxxxC.x2−4x+3=(x−2)2+1D.x÷(x2+x)=+12.（2015•四川省宜宾市，第5题，3分）把代数式3x3–12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A.3x(x2–4x+4)B.3x(x–4)2C.3x(x+2)(x–2)D.3x(x–2)23.（2015•浙江省台州市，第6题）把多项式228x分解因式，结果正确的是（）A.22(8)xB.22(2)xC.2(2)(2)xxD.42()xxx[中国~教育出@*版&网%]4．（2015•广东佛山,第8题3分）若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（）A．1B．﹣2C．﹣1D．236.（2015•山东临沂,第9题3分）多项式与多项式的公因式是（）(A).(B).(C).(D).7.（2015•绵阳第15题，3分）在实数范围内因式分解：x2y﹣3y=．8．（2015•四川省内江市，第13题，5分）分解因式：2x2y﹣8y=．4.（2015•四川省内江市，第25题，6分）已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a-b|=5.（2015•浙江省绍兴市，第11题，5分）因式分解：42x=6.（2015•山东东营,第12题3分）分解因式：．．2016年中考数学专题复习五：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做分式【名师提醒：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。1、amam=ambm=（m≠0）2、分式的变号法则ba=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除4①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：badc==2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc==3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m=【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】4、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。5、分式求值：①先化简，再求值。②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1（2012•宜昌）若分式21a有意义，则a的取值范围是（）A．a=0B．a=1C．a≠-1D．a≠0解：∵分式有意义，∴a+1≠0，∴a≠-1．故选C．点评：从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式1x有意义，x的取值范围满足（）A．x=0B．x≠0C．x＞0D．x＜0考点二：分式的基本性质运用例2（2012•杭州）化简216312mm得；当m=-1时，原式的值为．解：216312mm=(4)(4)3(4)mmm=43m。当m=-1时，原式=143=1，故答案为：43m，1．点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．对应训练52．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（）A．223aabB．23aaaC．22ababD．222aabab考点三：分式的化简与求值例3（2012•南昌）化简：2211aaaaa．解：原式=1(1)(1)(1)aaaaaa=1(1)(1)(1)aaaaaa=-1．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4（2012•安徽）化简211xxxx的结果是（）A．x+1B．x-1C．-xD．x解：211xxxx211xxxx21xxx(1)1xxx=x，故选D．点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5（2012•天门）化简221(1)11xx的结果是（）A．21(1)xB．21(1)xC．2(1)xD．2(1)x解：221(1)11xx=1211(1)(1)xxxx=1(1)(1)1xxxx=2(1)x．故选D。点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6（2012•遵义）化简分式222()1121xxxxxxxx，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．解：原式=2(1)(1)[](1)(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxx=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=1xx，由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，故取x的值时，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此时原式=22213．6点评：分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简22111xx的结果是（）A．21xB．321xC．21xD．2（x+1）4．（2012•绍兴）化简111xx可得（）A．21xxB．21xxC．221xxxD．221xxx5．（2012•泰安）化简22()2-24mmmmmm=．6．（2012•资阳）先化简，再求值：2221(1)11aaaaa，其中a是方程x2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7（2012•凉山州）对于正数x，规定1()1fxx，例如：11(4)145f，114()14514f，则111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012fffffff．解：∵当x=1时，1(1)2f；当x=2时，1(2)3f，当12x时，12()23f；当x=3时，1(3)4f，当13x时，13()34f…，∴11(2)()1,(3)()123ffff，…，∴1()(1)()(1)(1)fnfffnn，∴111(2012)(2011)(2)(1)()()()(1)(20121)220112012ffffffff120112011.52．点评：本题考查的是分式的加减法，根