苏科版八年级数学下册同步练习：9.4.2-矩形的判定

9.4.2矩形的判定知识点1矩形的判定图9－4－141．如图9－4－14，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列不能判定它是矩形的条件是()A．AO＝CO，BO＝DO，AC＝BDB．AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°C．∠ABC＝∠BCD＝∠ADCD．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD3．如图9－4－15，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要使该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________(填一个答案即可)．图9－4－15图9－4－164．如图9－4－16，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E，则四边形ADCE为________形．5．如图9－4－17，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.求证：四边形ADCE是矩形．图9－4－176．如图9－4－18，▱ABCD的四个内角平分线围成的四边形PQRS是矩形吗？为什么？图9－4－187．2017·启东一模如图9－4－19，已知E，F是平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，∠AEC＝90°.求证：四边形AECF为矩形．图9－4－19知识点2两条平行线之间的距离8．平行线之间的距离是指()A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度9．如图9－4－20，直线l1∥l2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积()图9－4－20A．大于10B．小于10C．等于10D．不确定【能力提升】10．如图9－4－21，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF长的最小值是()A．5B．4.8C．4.6D．4.4图9－4－21图9－4－2211．如图9－4－22，直线a∥b，点A，B位于直线a上，点C，D位于直线b上，且AB∶CD＝2∶3，如果△ABC的面积为6，那么△BCD的面积为________．图9－4－2312．如图9－4－23，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为________．13．如图9－4－24，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.(1)求证：CD＝AN；(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．图9－4－2414．如图9－4－25，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．图9－4－2515．如图9－4－26，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图9－4－261．D[解析]因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形．添加D选项中的条件后，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可判断．2．C3．答案不唯一，如∠A＝90°[解析]∵AB∥DC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形．4．矩5．证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°.∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD，AE＝BD，∴AE∥CD，AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．6．解：四边形PQRS是矩形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，即∠DAS＋∠BAS＋∠ABS＋∠SBC＝180°.∵AP，BR分别平分∠BAD，∠ABC，∴∠DAS＝∠BAS，∠ABS＝∠SBC，∴∠BAS＋∠ABS＝90°，∴∠ASB＝180°－(∠BAS＋∠ABS)＝90°，∴∠PSR＝90°.同理可得∠PQR＝90°，∠BRC＝90°，∴在四边形PQRS中，∠PSR＝∠SRQ＝∠PQR＝90°，∴四边形PQRS是矩形．7．证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF为矩形．8．B9．C[解析]∵l1∥l2，∴l1，l2之间的距离是固定的，∴△ABC和△DBC的BC边上的高相等，∴△ABC和△DBC的面积相等，∴△DBC的面积等于10.故选C.10．B[解析]如图，连接CD.∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝10.∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.由垂线段最短可得当CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×8×6＝12×10×CD，解得CD＝4.8，∴EF＝4.8.故选B.11．9[解析]∵a∥b，∴△ABC的面积∶△BCD的面积＝AB∶CD＝2∶3，∴△BCD的面积＝6×32＝9.12．6[解析]∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO.∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．∵AD＝3，AB＝2，∴四边形ABCD的面积为AD·AB＝3×2＝6.13．证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA.在△AMD和△CMN中，∠DAC＝∠NCA，MA＝MC，∠AMD＝∠CMN，∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC.由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．14．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O是AC的中点，∴OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝12AC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，∴四边形ABCD是矩形．15．解：(1)证明：如图．∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的邻补角的平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)如图．∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝CE2＋CF2＝13，∴OC＝12EF＝6.5.(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当O为AC的中点时，OA＝OC.∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．