边缘分布

§2边缘分布}{},{),()(yYPyYXPyFyFY为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数..),(),,(},{}{,},{),(,),(),(的边缘分布函数关于为随机变量称令则的分布函数为随机变量设XYXxFYxXPxXPyyYxXPyxFYXyxF).,()(xFxFX记为定义,x同理令(),()(,)XYFxFyXY故边缘分布函数可由的分布函数所确定一、离散型随机变量(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为(),j1,2,iiijjPXxpp(),i1,2,ijijiPYypp(X,Y)关于Y的边缘分布律为(X,Y)的联合分布律为,2,1,,),(jipyYxXPijji三、离散型随机变量的边缘分布律一般地，已知离散型随机变量(X,Y)的联合分布律则(X,Y)关于X的边缘分布律同理(X,Y)关于Y的边缘分布律此时，边缘分布函数为{,}(1,2,,,;1,2,,,)ijijPXxYypinjm1{}{,}iijjPXxPXxYy1ijjp.(1,2,,,)ipin.11{}{,}(1,2,,,)jijijjiiPYyPXxYyppjm1()(,)iXijxxjFxFxp1()(,)jYijyyiFyFyp;,2,1,}{1ipxXPjiji.,2,1,}{1jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21例1已知下列分布律求其边缘分布律.XY1010421242124212426XY1042124212421242610}{iixXPp}{jjyYPp解747317473把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设.),(,2,1,的分布律及边缘分布律求个邮筒内信的数目分别表示投入第YXYX解)2,2(),1,2(),2,1(),(.2,1,0,取由题设，各自的取值为YXYX均不可能，因而相应的概率均为0211{0,0}39PXY222{0,1}39PXY211{0,2}39PXY222{1,1}39PXY{1,0},{2,0}PXYPXY可由对称性求得再由古典概率计算得：例2所有计算结果列表如下：(,)XYXY和的边缘分布律可由的分布律确定(X,Y)关于Y的边缘分布律(X,Y)关于X的边缘分布律012121409999224109991120099441999jippXY四、连续型随机变量的边缘概率密度一般地，已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为则根据边缘分布函数的定义同理可得(,)(,)fxyxy(,)(,)xyFxyfuvdvdu()(,)lim(,)XyFxFxFxy(,)xdvuuvdf()lim(,)(,)YxyFyFxyfududvv(,)vyfuvdu()()XXdfxFxdx(,)uxfuvdv(,)fvdxv根据分布函数与密度函数的关系，有()()YYdfyFydy(,)fudyu()(,),()(,)xXYyFxfuvFyfuvdvdududv).(),(.,,,),(ypxpxyxyxpYXYX求边缘概率密度其它具有联合概率密度和设随机变量062xy2xyOxy)1,1(例3例：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它010,16),(2xyxxyyxf分别求出X及Y的边缘概率密度．xyO11R2xy23y0()6yYfyxydx同理，由根据公式()(,)Yfyfxydx故2301()0Yyyfy其它xyO11R2xy例：已知二维随机变量(X,Y)的概率密度为其它010,16),(2xyxxyyxf分别求出X及Y的边缘概率密度．(1)当时，有[0,1]y(2)当时，有[0,1]y()0Yfy2062yxy例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其中m1,m2,s12,s22,r都是常数，且s10，s20，0|r|1，则称(X,Y)服从参数为m1,m2,s12,s22,r的二维正态分布，记作(X,Y)~N(m1,m2,s12,s22,r)．22112221122122(1)2121(,)21xxyyfxyemmmmrssssrssrx轴y轴z轴x轴2211222222121212()(,)()()()()11exp22(1)21Xfxfxydyxxyydymmmmrssrssssr解：2212122211()122(1)212121xyxeedymmmrsssrssr221221222112()1()22(1)21211221xyxeedymsmrmsssrssr2121()2112xexmss2222()221(),2xYfyeymss同理r即二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数例：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为其中m1,m2,s12,s22,r都是常数，且s10，s20，0|r|1，则称(X,Y)服从参数为m1,m2,s12,s22,r的二维正态分布，记作(X,Y)~N(m1,m2,s12,s22,r)．22112221122122(1)2121(,)21xxyyfxyemmmmrssssrssr2121()211()2xXfxemss2222()221()2xYfyemssX~N(m1,s12)Y~N(m2,s22)附注：若(X,Y)~N(m1,m2,s12,s22,r)，则X~N(m1,s12)，Y~N(m2,s22).结论：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数r．对于给定的m1,m2,s12,s22，不同的r对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是一样的．这个例子说明：不能由边缘分布完全确定联合分布．