2011年注册岩土工程师基础考试培训资料--空间解析几何

空间解析几何一、向量代数二、空间解析几何1、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.相等向量:大小相等,方向相同负向量:大小相同,方向相反零向量:模为0的向量,方向不固定向量的模:向量的长度(大小)单位向量:模为1的向量一、向量代数（1）向量的分解式：},,{zyxaaaa.,,,,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,,（2）向量的坐标表示式：向量的坐标：zyxaaa,,2、向量的表示法3、向量的线性运算},,{zyxaaaa},,{zyxbbbb},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaakbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222||zyxaaaa向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(2224、数量积cos||||baba其中为a与b的夹角zzyyxxbabababa数量积的坐标表达式ba0zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa两向量夹角余弦的坐标表示式aprjbbprjaba0baaaa2运算律(1)交换律(2)结合律)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律5、向量积定义：向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba性质为非零向量,则aa)1(0ba,)2(0baba∥运算律(2)分配律(3)结合律abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式bazyxzyxbbbaaakjibaba∥zzyyxxbababa0ba6、混合积定义已知三向量称数量混合积.记作cba)(cba,,,cba的为cba,,zyxzyxbbbaaa混合积的坐标表示设cba)(,),,(zyxaaaacba,),,(zyxbbbb),,(zyxccccxcyczc性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0cbacba,,0xyzxyzxyzaaabbbccc例1已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求（1）ba；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影.解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21ajbbabPr||)3(.3||Prbbaajb.43例2求与kjia423，kjib2都垂直的单位向量.解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj55510||22c||0ccc.5152kj3,36,226iajkaijkijk,,a()12B)1-21-2)-12A或（或（C)-或（D或,,13360226aa例3：已知若共面，则等于：解:若共面,则由此得故应选（C）12a和例4、例5见投影zyxo0Mn1.空间的平面),,(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxA称上式为平面的点法式方程,则该平面的方程为法向量.量,),,(CBAn的为平面称n二、空间解析几何（1）平面的方程•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示0DCzByAx)0(222CBA平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.是平面的一般方程，特殊情形例4.求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通过x轴,0DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得化简,得所求平面方程0322yxij(A)平面的法向量为32,011yxxoyz(D)平面与面的交线为例5.设平面的方程为,以下选项解:由所给平面的方程知,该平面平行于z轴,不可能垂直于z轴，故应选（Ｂ）．(B)平面垂直于z轴(C)平面平行于z轴中错误的是:点到平面的距离公式：的距离为到平面点0),,(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夹角公式:平面之间的相互关系),,(,0:222222222CBAnDzCyBxA021nn2121θcosnnnn2、空间直线xyzo01111DzCyBxA12L因此其一般式方程（1）空间直线的方程直线可视为两平面交线，(不唯一)),,(0000zyxM说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.mxx0则直线的对称式方程),,(zyxMnyy0pzz0也称为点向式方程直线方程为s已知直线上一点),,(0000zyxM例如,当和它的方向向量0,0,0,mnp时000xxzzmpyy参数式方程设得参数式方程:tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0)0,1,1()1,0,0()1,1,0()1,1,1(111()101xyzA11(),111xzBy11()11xzC111()101xyzD111010ijknikki例6：已知平面过点,则与该平面垂直且过点的直线的对称方程为:解:平面的法向量所求直线的方向向量为,故应选(B).,1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm（3）线与线的关系直线垂直:平行:夹角公式:),,(1111pnms),,(2222pnms021ss2121cosssssCpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：（4）面与线间的关系直线:),,(,0CBAnDCzByAx),,(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin（1）旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.3、曲面.),,(对应与三元方程空间曲面0zyxFS方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线设有平面曲线xy例7.求坐标面xoz上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x轴旋转122222czyax绕z轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z（2）柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：只含yx,而缺z的方程0),(yxF，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，其准线为xoy面上曲线C.xyzxyzo表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上的抛物线.z轴的椭圆柱面.12222byaxz轴的平面.0yx表示母线平行于C(且z轴在平面上)表示母线平行于xyzoo例如：椭球面),,(1222222为正数cbaczbyax(3)二次曲面),(22222为正数bazbyax椭圆锥面抛物面zqypx2222椭圆抛物面(p,q同号)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当p=q时为绕z轴的旋转抛物面.(p,q同号)zyx双曲面单叶双曲面zxy),,(1222222为正数cbaczbyax双叶双曲面),,(1222222为正数cbaczbyaxzxyo222()123xyAz222()123xyBz222()123xyCz222()023xyDz132222zyx例8.下列方程中代表单叶双曲面的是:解:表单叶双曲面,故应选(A).4.空间曲线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.xzy1oC2(1)空间曲线的方程（2）空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为消去z得投影柱面则C在xoy面上的投影曲线C´为消去x得C在yoz面上的投影曲线方程消去y得C在zox面上的投影曲线方程00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC222222216,0xyzxzyxoy2222216()0xyAxy22216()0xyBz2()216Cxy22216()0xyDz2216xy222160xyz例9.空间曲线在平面的投影方程是解：消去方程组中的变量z得到这是所给曲线关于面的投影柱面的方程，曲线在平面的投影方程应是：故选D。xoyxoy