第四课时 圆周角和圆心角的关系――圆周角定理

1.在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与什么有关?圆周角：顶点在圆上,两边与圆相交的角,叫做圆周角.●OBACBACBACBACBACBACBAC2.一条弧所对的圆周角有多少个？一条弧所对的圆心角呢?BACDE●OBACBACBACBACBACBACDE3.一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.1.当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角在位置上有什么共同的特性?我要通过本节课学习学会证明圆周角定理.以圆心相对于圆周角的不同位置为标准，尝试画出弧AB所对的不同类型的圆周角.再通过观察或度量看看这几个圆周角有什么关系?与弧AB所对的圆心角∠AOB的大小又有什么关系呢？做一做●OAB圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.已知:如图,∠B是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆周角.求证：∠B=𝟏𝟐∠AOC●OABC●OABC●OABC探究活动一：1.当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时,∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.●OABC∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.212、当圆心O在圆周角∠ABC的内部时过点B作直径BD.由1可得:●O即∠ABC=𝟏𝟐∠AOC.ABCD∠ABD=𝟏𝟐∠AOD,∠CBD=𝟏𝟐∠COD,∴∠ABD+∠CBD=𝟏𝟐∠AOD+𝟏𝟐∠COD=𝟏𝟐(∠AOD+∠COD)3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时过点B作直径BD.由1可得:●OABC∴∠ABD-∠CBD=𝟏𝟐∠AOD-𝟏𝟐∠COD=𝟏𝟐(∠AOD−∠COD)即∠ABC=𝟏𝟐∠AOC.∠ABD=𝟏𝟐∠AOD,∠CBD=𝟏𝟐∠COD,1、试找出图中所有相等的圆周角。2.半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是_______________.36º或144°O·用一用OFBACEG图2由此你能得出什么结论?●OBCDEA图1探究活动二：OFBACEG由此你又能得出什么结论?推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BCOA图(1)2.如图(2)，圆周角∠BAC=90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？由此你能得出什么结论?FE●BCA图(2)O探究活动三：推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(1)一个概念（圆周角）归纳提炼：(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(3)二个推论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。(4)两大思想：渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.例2.如图,O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D为O上一点,OD⊥AC,垂足为E,连接BD.(1)求证:BD平分∠ABC.(2)当∠ODB=30°时,求证:BC=OD.例1.如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为．2.如图，P是△ABC外接圆上的一点∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三角形。··APBCO证明：∵∠ABC和∠APC都是弧AC所对的圆周角。∴∠ABC=∠APC=60°(同弧所对的圆周角相等）同理，∵∠BAC和∠CPB都是弧AC所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB=60°.∴△ABC等边三角形.1.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ADB=_____，∠ACB=______.DAOCB130º50º弧BD=弧DE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∴⌒⌒BD=DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。3.已知：如图，在△ABC中AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：ABCDE证明：连结AD.