2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第五章 平面向量第2节

✎考纲解读1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题，给你及其他一些实际问题.✎知识点精讲一、平面向量的数量积（1）已知两个非零向量和，记为，则叫向量与的夹角，记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为.（2）叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.cos,ababab,OAOBab0πAOB剟ab,ab,0,πababπ2ababababcos,ababab=规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量与垂直的充要条件是.两个非零向量与平行的充要条件是.0ab0abababab二、平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.即（在方向上的投影.在方向上的投影）.abaabacosbcosababbacosabbaabcosabab✎题型归纳及思路提示题型72平面向量的数量积【5.19】(1)在中，，，则（）.A.B.C.D.(2)已知正方形的边长为，点是上的动点，则的值为__________；的最大值为________.(3)在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）.A.B.C.D.【解析】(1)在中，，故选D.(2)利用向量数量积的几何意义求解.如图5-23所示，，RtABC△90C4ACABAC168816ABC△ABCD1EABDECBDEDCMMC1AMPAM2APPMPAPBPC49434349RtABC△90C216.ABACAC21DECBCB2max1.DEDCDC(3)如图5-24所示，因为点是的中点，，故选A.MBC2PBPCPM2PAPBPCPAPM212cosπ2133PAPM49FEDCBA图5-23【5.19变式1】如图所示，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝑃⊥𝐵𝐷，垂足为𝑃，且𝐴𝑃=3，则𝐴𝑃∙𝐴𝐶=________.【解析】𝐴𝑃∙𝐴𝐶=2𝐴𝑃∙𝐴𝑂=2𝐴𝑃𝐴𝑂cos∠𝑂𝐴𝑃=2𝐴𝑃2=18.PODABC【例5.20】如图所示，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=2，点𝐸为𝐵𝐶的中点，点𝐹在边𝐶𝐷上，若𝐴𝐵∙𝐴𝐹=2，则𝐴𝐸∙𝐵𝐹的值是_______.DFCBAE【分析】用𝐴𝐵，𝐵𝐶表示𝐴𝐸，𝐵𝐹是关键.【解析】解法一：如图所示：设𝐷𝐹=𝑥𝐴𝐵，则𝐶𝐹=(𝑥−1)𝐴𝐵，𝐴𝐵∙𝐴𝐹=𝐴𝐵∙𝐴𝐷+𝐷𝐹=𝐴𝐵∙𝐴𝐷+𝑥𝐴𝐵=𝑥𝐴𝐵2=2𝑥=2，所以𝑥=22，所以𝐵𝐹=𝐵𝐶+𝐶𝐹=𝐵𝐶+(22−1)𝐴𝐵.𝐴𝐸∙𝐵𝐹=(𝐴𝐵+𝐵𝐸)∙𝐵𝐶+22−1𝐴𝐵=(𝐴𝐵+12𝐵𝐶)∙𝐵𝐶+22−1𝐴𝐵=22−1𝐴𝐵2+12𝐵𝐶2=22−1×2+12×4=2.解法二：建立坐标系，如右图所示，设𝐴0,0,𝐵2,0,𝐷0,2,𝐶(2,2),𝐸(2,1)，𝐹(𝑥,2)，则𝐴𝐵=2,0，𝐴𝐹=(𝑥,2)，由𝐴𝐵·𝐴𝐹=2𝑥=2,得𝑥=1，由𝐴𝐸=2,1,𝐵𝐹=(1−2,2)，得𝐴𝐸∙𝐵𝐹=2.yxEABCFD【例5.22】设𝒂,𝒃,𝒄是单位向量，且𝒂∙𝒃=0,则(𝒂−𝒄)∙(𝒃−𝒄)的最小值为（）.A.−2B.2−2C.−1D.1−2【解析】由𝒂−𝒄∙𝒃−𝒄=𝒂∙𝒃−𝒄∙𝒂+𝒃+𝒄2又𝒂∙𝒃=0,得𝒂−𝒄∙𝒃∙−𝒄=𝒄2−𝒄∙(𝒂+𝒃)=1−𝒄𝒂+𝒃cos𝒄，𝒂+𝒃=1−2cos𝒄，𝒂+𝒃.此时最小值为1−2.故选D.【例5.24】已知向量𝒂=1，3，𝒃=−2，0，则𝒂与𝒃的夹角是_____.【解析】设𝒂与𝒃的夹角为θ，又𝜃∈0，π，所以𝜃=2π3.则cosθ=𝒂∙𝒃|𝒂||𝒃|=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2𝑥12+𝑦12𝑥22+𝑦22=−212+32(−2)2+02=−12，【例5.26】已知向量𝒂,𝒃,𝒄满足|𝒂|=1,|𝒃|=2,𝒄=𝒂+𝒃,𝒄⊥𝒂，则𝒂与𝒃的夹角等于（）A.30°B.60°C.120°D.90°【解析】解法一：因为cos𝒂，𝒃=𝒂∙𝒃𝒂|𝒃|,𝒄⊥𝒂又因为𝒂∙𝒃=𝒂∙𝒄−𝒂=𝒂∙𝒄−𝒂2=−1所以cos𝒂，𝒃=−𝟏𝟐，因为𝒂，𝒃∈0°，180°,所以𝒂，𝒃=120°.故选C.解法二：如图所示𝒄⊥𝒂，∠𝐵𝑂𝐶=30°,故𝒂与𝒃的夹角等于120°.OBACcba【例5.28变式1】已知向量𝒂,𝒃满足|𝒂|=1,|𝒃|=2,|𝒂−𝒃|=2,则|𝒂+𝒃|等于（）.A.1B.2C.5D.6【解析】由题意知|𝒂+𝒃|2=|𝒂|2+2𝒂∙𝒃+|𝒃|2|𝒂−𝒃|2=|𝒂|2−2𝒂∙𝒃+|𝒃|2⇒|𝒂+𝒃|2+|𝒂−𝒃|2=2(𝒂2+|𝒃|2)即|𝒂+𝒃|2+22=2（12+22）⇒|𝒂+𝒃|=6.故选D.【例5.29】已知向量𝒂与𝒃的夹角为120˚，𝒂=3，𝒂+𝒃=13，则𝒃等于（）.A.5B.4C.3D.1【解析】解法一：由已知得𝒂∙𝒃=𝒂𝒃cos120˚=−32𝒃.又因为𝒂+𝒃2=𝒂2+2𝒂∙𝒃+𝒃2，即13=9+2𝒂∙𝒃+𝒃2，故13=9−3𝒃+𝒃2，得𝒃=−1（舍）或𝒃=4.故选B.解法二：如图所示，设𝒂=𝑂𝐴，𝒃=𝐴𝐵，则𝒂+𝒃=𝑂𝐵，又∠𝐴=60˚，由余弦定理得cos𝐴=𝒂2+𝒃𝟐−𝒂+𝒃𝟐2𝒂𝒃，所以12=9+𝒃2−132×3×𝒃，所以𝒃2−3𝒃−4=𝟎.因为𝒃0，所以𝒃=𝟒.故选B.aba+bBAO【例5.30】（2010浙江理16）已知平面向量𝜶，𝜷(𝜶≠𝟎,𝜶≠𝜷),满足𝜷=1，且𝜶与𝜷−𝜶的夹角为120°,则|𝜶|取值范围是_________.【解析】如图所示在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理可知：|𝐴𝐵|sin60°=|𝜶|sin𝜃⇒𝜶=|𝐴𝐵|sin𝜃sin60°=233sin𝜃.因为𝜃∈0°，120°，所以|𝜶|∈0，233.θ60°β-αβαABC【例5.30变式1】（2011辽宁理11）若𝒂,𝒃,𝒄均为单位向量，且𝒂∙𝒃=0，(𝒂−𝒄)∙(𝒃−𝒄)≤0,则|𝒂+𝒃−𝒄|的最大值为（）.A.2−1B.1C.2D.2【解析】解法一：由(𝒂−𝒄)∙(𝒃−𝒄)≤0，𝒂∙𝒃=0，得𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒄≥𝒄2=1所以(𝒂+𝒃−𝒄)2=1+1+1−2(𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒄)≤1所以|𝒂+𝒃−𝒄|≤1，即|𝒂+𝒃−𝒄|的最大值为1.故选B.解法二：如图所示在半径为1的圆𝑂中，设𝑂𝐴=𝒂,𝑂𝐵=𝒃,𝒂⊥𝒃，𝒂+𝒃=𝑂𝐷.因为(𝒂−𝒄)∙(𝒃−𝒄)≤0，所以∠𝐴𝐶𝐵为钝角，又|𝒄|=1，所以点𝐶只能在劣弧𝐴𝐵上运动，又𝒂+𝒃−𝒄=𝐶𝐷，由图可知|𝐶𝐷|的最大值为1，即|𝒂+𝒃−𝒄|的最大值为1.bayxCBADO