函数与方程复习公开课课件

函数与方程复习课高一备课组目录教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使___________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点目录思考探究1．是否任意函数都有零点？提示：并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．目录(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得___________，这个c也就是f(x)＝0的根．思考探究2．在上面的条件下，(a，b)内的零点有几个？提示：在上面的条件下，(a，b)内的零点至少有一个c，还可能有其他零点，个数不确定．f(a)·f(b)0f(c)＝0目录2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点______，________(x1，0)或(x2，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)目录3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近_________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0零点目录课前热身1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()A．①②B．①③C．①④D．③④答案：B目录2.若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12解析：选C.∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－12.目录3.函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)解析：选C.由条件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解之得0＜a＜3.目录4.函数f(x)＝x3－x的零点是________．答案：－1，0，15.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则其零点个数是________．答案：2目录知识点探究讲练互动例1知识点1函数零点的求解和判断设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)目录【解析】∵f(x)＝ex＋x－4，∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正确，同理可验证B、D不正确．对于C项，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0，故选C.【答案】C目录例22()21,;fxaxxa若函数恰有一个零点求的取值范围目录知识点2函数零点的求解和判断设关于x的方程0342axx有4个不等的实根，则求a的取值范围.例3目录【规律小结】判定函数零点个数的几种方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．目录跟踪训练1.已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0解析：选D.当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0，故选D.目录例2知识点2二分法若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.4375)＝0.162f(1.40625)＝－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为________．目录【解析】由参考数据知f(1.4375)＞0，f(1.40625)＜0，f(1.4375)·f(1.40625)＜0，且精确到0.1时，1.4375≈1.4，1.40625≈1.4，所以函数f(x)的一个零点的近似值是1.4，也就是方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根．【答案】1.4目录【规律小结】利用二分法求近似解需注意的问题：(1)第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)＜0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．提醒：对于方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．目录跟踪训练2.(2013·武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分()A．5次B．6次C．7次D．8次解析：选C.设对区间(1，2)二等分n次，开始时区间长为1，第1次二等分后区间长为12，第2次二等分后区间长为122，第3次二等分后区间长为123，…，第n次二等分后区间长为12n.依题意得12n＜0.01，∴n＞log2100.由于6＜log2100＜7，∴n≥7，即n＝7为所求．目录例3考点3函数零点的综合问题(2013·东北三校联考)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝(22)x－1，若在区间(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A．(14，1)B．(1，4)C．(1，8)D．(8，＋∞)目录【解析】依题意得f(x＋2)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，即f（x＋4）＝f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2，6)上的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f(x)与y＝loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有a＞1loga（6＋2）＜1,由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞)，故选D.【答案】D目录【规律小结】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．目录跟踪训练3.是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＞0，∴若实数a满足条件．则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠1.目录(2)当f(3)＝0时，a＝－15.此时f(x)＝x2－135x－65.令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a≠－15.综上所述，a－15或a1.目录方法感悟1.函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．2.若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件,但并不必要．目录名师讲坛精彩呈现例数学思想转化与化归思想在解方程中的应用(2012·高考北京卷)函数f(x)＝x12－12x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3目录【解析】在同一平面直角坐标系内作出y1＝x12与y2＝12x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f(x)＝x12－12x只有1个零点．【答案】B目录【感悟提高】解答本题利用了转化与化归、数形结合的思想．所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．本题是将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解．目录跟踪训练4.设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(3，4)B．(2，3)C．(1，2)D．(0，1)解析：选C.令g(x)＝x3－22－x，可求g(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0,易知函数g(x)的零点所在区间为(1，2)．