高三年级数学空间向量一轮复习

WORD格式.整理版优质.参考.资料第十三章空间向量1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是：1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有和的量．(2)向量相等：方向且长度．(3)向量加法法则：．(4)向量减法法则：．(5)数乘向量法则：．2．线性运算律(1)加法交换律：a＋b＝．(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝．(3)数乘分配律：(a＋b)＝．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相或．基础过关知识网络考纲导读高考导航空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求距离求空间角证明平行与垂直WORD格式.整理版优质.参考.资料(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使．(3)直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在Rt，使．4．共面向量(1)共面向量：平行于的向量．(2)共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(yx,)，使P．共面向量定理的推论：．5．空间向量基本定理(1)空间向量的基底：的三个向量．(2)空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组zyx,,，使．空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组zyx,,，使．6．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：．(2)空间向量的长度或模：．(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝．空间向量的数量积的常用结论：(a)cos〈a、b〉＝；(b)a2＝；(c)ab．(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律a·b＝；(b)分配律a·(b＋c)＝．例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若1AAyABxADAF，求x－y的值.解：易求得0,21yxyx变式训练1.在平行六面体1111DCBAABCD中，M为AC与BD的交点，若11BAa，11DAb，AA1c，则下列向量中与MB1相等的向量是()A．21a＋21b＋cB．21a＋21b＋cC．21a21b＋cD．21a21b＋c解：A例2.底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD.典型例题ABCDA1C1B1WORD格式.整理版优质.参考.资料证明：记,,,1cAAbACaAB则cbCCDCDCbaADABDBcaAB21,21,111∴11ABcaDCDB,∴11,,DCDBAB共面.∵B1平面C1BD,AB1//平面C1BD.变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．(1)求证：MN∥平面FC；(2)求证：MN⊥AB；(3)当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？解：(1)设.)1(,BFkBCkMNkACMCEBNB则(2).0)1(ABBFkABBCkABMN(3)设正方体的边长为a,,21,)122(22kakkMN即当也即时ACAM21，aMN22min例3.已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，G、H分别是△ABC和△ACD的重心．求证：(1)AD⊥BC；(2)GH∥BD．证明：(1)AD⊥BC0BCAD．因为ABCD0CDAB，0BDACBDAC，而0)()(DCBDBDABBCAD．所以AD⊥BC．(2)设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，AHGAGH＝32(AFEA)＝32EF．变式训练3：已知平行六面体1111DCBAABCD，E、F、G、H分别为棱ABCCCDDA和11111,,的中点．求证：E、F、G、H四点共面．解：CGHCHG＝1GCHC＝1FCGFHC＝GFFCFA11＝GFEF2，所以EHEGEF,,共面，即点E、F、G、H共面．例4.如图，平行六面体AC1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝GB21，过E、F、G的平面与对角线AC1交于点P，求AP:PC1的值．WORD格式.整理版优质.参考.资料解：设1ACmAPAFAEAGADAAABCBBBABAC234311111∴AFmAEmAGmAP2343又∵E、F、G、P四点共面，∴12343mmm∴193m∴AP︰PC1＝3︰16变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证QNPM．证明：法一：)(21OCOBOM)(21OCOAON)(21OCABOMPOPM)(21ABOCONQOQN0)(4122ABOCQNPM故QNPM法二：PM·QN＝(PQ＋QM)·(QM＋MN)＝)(21OCAB·)(21BAOC＝)(4122ABOC＝01．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．DFAGBB1C1D1A1CEP小结归纳WORD格式.整理版优质.参考.资料3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝baba．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝||||nnCD.5．设平面α的一个法向量为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝||||nnPPo.第2课时空间向量的坐标运算设a＝),,(321aaa，b＝),,(321bbb(1)a±b＝(2)a＝．(3)a·b＝．(4)a∥b；ab．(5)设),,(),,,(222111zyxBzyxA则AB＝，AB．AB的中点M的坐标为．例1.若a＝(1,5,－1)，b＝(－2,3,5)（1）若(ka+b)∥(a－3b)，求实数k的值；（2）若(ka+b)⊥(a－3b)，求实数k的值；（3）若bak取得最小值，求实数k的值．解：(1)31k；(2)3106k；(3)278k变式训练1.已知O为原点，向量3,0,1,1,1,2,,OAOBOCOABC∥OA，求AC．解：设,,,1,1,2OCxyzBCxyz，典型例题基础过关WORD格式.整理版优质.参考.资料∵,OCOABC∥OA，∴0OCOA，BCOAR，∴30,1,1,23,0,1xzxyz，即30,13,10,2.xzxyz解此方程组，得7211,1,,101010xyz。∴721,1,1010OC，3711,1,1010ACOCOA。例2.如图，直三棱柱111CBAABC，底面ABC中，CA＝CB＝1，90BCA，棱21AA，M、N分别A1B1、A1A是的中点．(1)求BM的长；(2)求11,cosCBBA的值；(3)求证：NCBA11．解：以C为原点建立空间直角坐标系xyzO.(1)依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．3)01()10()01(222BM.(2)依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.5,6,3),2,1,0(),2,1,1(111111CBBACBBACBBA1030,cos111111CBBACBBACBBA.(3)证明：依题意得C1（0，0，2），N)0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11NCBA.NCBANCBA1111,002121xyzB1C1A1CBAMNWORD格式.整理版优质.参考.资料变式训练2.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．(1)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离；(2)求(1)中的点N到平面PAC的距离．解：(1)建立空间直角坐标系A－BDP，则A、B、C、D、P、E的坐标分别是A(0,0,0)、B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,21,1)，依题设N(x,0,z)，则NE＝(－x,21,1－z)，由于NE⊥平面PAC，∴00ACNEAPNE即0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(xzzxzx163zx，即点N的坐标为(63,0,1)，从而N到AB、AP的距离分别为1，63.(2)设N到平面PAC的距离为d，则d＝||||NENENA＝1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|.例3.如图，在底面是棱形的四棱锥ABCDP中，,,60aACPAABCaPDPB2，点E在PD上，且PE:ED＝2:1．(1)证明PA平面ABCD；(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解：（1）证明略；（2）易解得30；（3）解以A为坐标原点，直线APAD,分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为)0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(aaCaaBACDBAPEABCPED·WORD格式.整理版优质.参考.资料)31,32,0(),,0,0(),0,,0(aaEaPaD所以AE)31,32,0(aa，AC)0,21,23(aa，AP),,0,0(aPC),21,23(aaaBP),21,23(aaa，设点F是棱PC上的点，PCPF),21,23(aaa，其中10，则))1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF．令AEACBF21得221131)1(3221)1(2123)1(23aaaaaaa解得23,21,2121，即21时，AEACBF2321．亦即，F是PC的中点时，AEACBF,,共面，又BF平面AEC，所以当F是PC的中点时，BF∥平面AEC．例4.如图，多面体